1.Расчет линейных электрических цепей постоянного тока. Методы расчета
1.1 Закон Ома
1. Закон Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке. Применительно к рис. 1.2
2. Закон Ома для участка цепи, содержащей источник ЭДС (см рис. 1.3).
.
Если направления ЭДС Е и напряжения U совпадают с направлением тока I, то они входят в уравнение со знаком «+», в противном случае - со знаком «-».
1.2 Законы Кирхгофа
Соотношения между токами и ЭДС в ветвях электрической цепи и напряжениями на элементах цепи, позволяющие произвести расчет электрической цепи, определяются двумя законами Кирхгофа. Эти законы оперируют с тремя топологическими элементами цепи.
Ветвь - это участок цепи, содержащий ряд последовательно соединенных элементов, по которым может протекать один и тот же ток. Обозначим количество ветвей символом b.
Узел - точка соединения трех и более ветвей. Узлы можно обозначить символами а, b, с Количество узлов схемы обозначим символом y.
Контур - замкнутый путь для электрического тока, образованный ветвями схемы. Независимый контур содержит хотя бы одну новую ветвь, не входящую в ранее выбранные контуры. Количество независимых контуров равно (b-y+1).
Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:
?Ik=0.
При этом токи, подтекающие к узлу, берут с одним произвольно выбранным знаком (обычно со знаком «+», а токи, утекающие от узла, - с противоположным знаком. Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Изменение потенциала между парой узлов участка характеризуется разностью потенциалов или равным ему напряжением.Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма падений напряжения на элементах любого контура равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура:
?IR=?E
2.Методы расчета электрических цепей постоянного тока
2.1 Эквивалентные преобразования электрических цепей
Если цепь с одним источником ЭДС включает в себя участки с только последовательным и параллельным соединением приемников, то расчет токов ветвей можно провести методом свертывания в следующей последовательности.
1. На схеме отмечаются все токи и узловые точки.
2. Группы резисторов с явно выраженным последовательным (рис. 2.1) или параллельным (рис. 2.2) соединением заменяются эквивалентными, и определяются их сопротивления.
3. Замена производится до получения простейшей схемы, для которой элементарно определяется общее (эквивалентное) сопротивление всей цепи.
4. По заданному напряжению источника и вычисленному общему сопротивлению всей цепи определяется ток в неразветвленной части цепи (общий ток).
5. Определяются падения напряжения на участках цепи и ток каждого резистора.
Расчет цепи методом свертывания рассмотрим на следующем примере.
Пример 1. В цепи (схема на рис. 2.3, а) сопротивления R6 и R7 заменим на R67=R6+R7 (рис. 2.3, б). Сопротивления R5, R6 и R7 заменим на R57=(R5R67)/(R5+R67) (рис. 2.3, в). Сопротивления R4, R5, R6 и R7 заменим на R47=R4+R57 (рис. 2.3, г). Сопротивления R2 и R47 заменим на R247=(R2R47)/(R2+R47) (рис. 2.3, д). Наконец, найдем Rэкв=R1+R3+R247.
В получившейся цепи (рис. 2.4) найдем ток I в неразветвленной части цепи путем элементарного расчета по закону Ома для участка цепи. Для остальных схем, следуя в обратном порядке (от д к а) найдем напряжения на элементах по закону Ома и токи ветвей по первому закону Кирхгофа.
Расчет некоторых объемных электрических цепей значительно упрощается, если преобразовать треугольник сопротивлений в эквивалентную звезду или звезду сопротивлений в эквивалентный треугольник.
Контур, состоящий из трех сопротивлений RAB, RBC и RCA, имеющий три узловые точки A, B и C, образует треугольник сопротивлений (рис. 2.5, а).
Электрическая цепь, состоящая из трех сопротивлений RA, RB и RC, соединенных в одной узловой точке O, образует звезду сопротивлений (рис. 2.5, б).
Преобразование схемы должно производиться так, чтобы при неизменном напряжении между точками A, B и С токи IA, IB и IC звезды и треугольника оставались без изменений.
Треугольник и звезда, удовлетворяющие этому условию, называются эквивалентными.
При замене треугольника эквивалентной звездой сопротивления звезды определяются следующими выражениями:
При замене звезды эквивалентным треугольником каждое сопротивление треугольника определяется следующими выражениями:
Пример 2. Определить ток в неразветвленной части цепи (рис. 2.6, а) при следующих исходных данных: E=2,2 В; R1=10 Ом; R2=30 Ом; R3=60 Ом; R4=4 Ом; R5=22 Ом.
Решение. Для расчета этой цепи заменим треугольник сопротивлений, подключенных к точкам A, B и C, эквивалентной звездой, подключенной к тем же точкам (рис. 2.6, б).
Определим величины сопротивлений эквивалентной звезды:
Расчет сопротивления вновь полученной цепи производим методом свертывания.
Ra,4,=Ra+R4=6+4=10 Ом; Rc,5=Rc+R5=18+22=40 Ом.
Поскольку сопротивления между собой соединены параллельно, их общее сопротивление будет равно
а общее сопротивление схемы (см. рис. 2.6, б) R=Rb+Ra,4,c,5=3+8=11 Ом. Тогда ток в неразветвленной части цепи I0=E/R=2,2/11=0,2 А.
3. Методы расчета сложных цепей постоянного тока
3.1 Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
Метод подразумевает составление системы уравнений по законам Кирхгофа. При составлении системы уравнений должно учитываться следующее.
1. Число уравнений равно числу токов в цепи (число токов равно числу ветвей в рассчитываемой цепи). Направление токов в ветвях выбирается произвольно.
2. По первому закону Кирхгофа составляется (y-1) уравнений, где y -число узловых точек в схеме.
3. Остальные уравнения в количестве b-y+1, где b - число ветвей, составляются по второму закону Кирхгофа.
В результате решения системы уравнений определяются искомые величины для сложной электрической цепи (например, все токи при заданных значениях ЭДС источников Е и сопротивлений резисторов). Если в результате расчета какие-либо токи получаются отрицательными, это указывает на то, что их направление противоположно выбранному.
Пример 1.
Составить необходимое и достаточное количество уравнений по законам Кирхгофа для определения всех токов в цепи (рис. 2.7) методом непосредственного применения законов Кирхгофа при следующих исходных данных: E1=80 В; E2=64 В; R1=60 Ом; R2=40 Ом; R3=40 Ом. Внутренним сопротивлением источников пренебречь.
Решение:
В рассматриваемой сложной цепи имеется 3 ветви, следовательно, 3 различных тока, поэтому для расчета необходимо составить 3 уравнения, причем 1 уравнение - по первому закону Кирхгофа (в цепи y=2 узловых точки а и b) и 2 уравнения - по второму закону Кирхгофа (внутренним сопротивлением источников пренебрегаем, т.е. R0=0).
Составляем уравнения:
1) I1+I2+I3=0 (для узла a);
2) I1•R1-I2•R2=E1+E2 (для контура I, обход по часовой стрелке);
3) I2•R2-I3•R3=-E2 (для контура II, обход по часовой стрелке).
Совместное решение полученных уравнений дает следующие значения токов ветвей:
I1=1,4 А; I2=-1,5 A; I3=0,1 A.
Число уравнений в системе равно числу ветвей в цепи. Решение системы уравнений для цепи, содержащей более трех ветвей, создает определенные трудности. Упростить расчет сложных электрических цепей возможно с помощью рационализированных методов.
3.2 Метод наложения
Метод наложения (суперпозиции) является одним из методов расчета сложных цепей с несколькими источниками. Он базируется на принципе наложения (суперпозиции), который для линейных электрических цепей может быть сформулирован следующим образом: ток в любой ветви сложной схемы, содержащей несколько источников ЭДС, можно рассматривать как алгебраическую сумму токов, возникающих в рассматриваемой ветви при независимом действии отдельных источников ЭДС.
Сущность данного метода в следующем.
1. В каждой ветви рассматриваемой цепи (см. рис. 2.7) положительное направление тока выбирается произвольно.
2. Количество расчетных схем цепи (рис. 2.8, а, б) равно количеству источников в исходной схеме.
3. В каждой расчетной схеме действует только один источник, а остальные источники заменяются их внутренним сопротивлением.
4. В каждой расчетной схеме методом свертывания определяют частичные токи в каждой ветви. Частичным называется условный ток, протекающий в ветви под действием только одного источника. Направление частичных токов в ветвях вполне определенно и зависит от полярности источника.
5. Искомые токи каждой ветви рассматриваемой схемы определяются как алгебраическая сумма частичных токов для этой ветви. При этом частичный ток, совпадающий по направлению с искомым, считается положительным, а несовпадающий - отрицательным. Если алгебраическая сумма частичных токов имеет положительный знак, то направление искомого тока в ветви совпадает с произвольно выбранным, если же отрицательный, то направление тока противоположно выбранному. Метод наложения рассмотрим на следующем примере.
Пример 2.
Определить токи во всех ветвях цепи (рис. 2.7). Исходные данные взять из предыдущего примера.
Искомые токи в рассматриваемой цепи I1, I2 и I3 определяются алгебраической суммой частичных токов I'1, I'2, I'3 и I"1, I"2, I"3, определяемых по схемам цепей рис. 2.8, а и 2.8, б.
Для цепи, изображенной на рис. 2.8, а, верны следующие соотношения:
I'1=I'2+I'3; I'2=I'3; I'1=E1/(R1+R2,3)=80/(60+0,5•40)=1 (A);
I'2=I'3=0,5 A.
Для цепи, изображенной на рис. 2.8, б, верны следующие соотношения:
I"2=I"1+I"3; I"3=1,5•I"1; I"2=E2/(R2+R1,3)=64/(40+24)=1 (A);
I"1=0,4 A, I"3=0,6 А
Для цепи, изображенной на рис. 2.7, верны следующие соотношения:
I1=I'1+I"1=1,0+0,4=1,4 (А);
I2=-I'2-I"2=-0,5-1,0=-1,5 (A);
I3=I'3-I"3=0,6-0,5=0,1 A.
Ток I2 имеет знак «минус», следовательно, его направление противоположно выбранному, он направлен из точки a в точку b.
3.3 Метод двух узлов
Расчет сложных разветвленных электрических цепей с несколькими источниками и двумя узлами можно осуществить методом двух узлов. Напряжение между узлами называется узловым напряжением. Uab - узловое напряжение цепи, изображенной на рис. 2.7.
Для различного числа параллельных ветвей узловое напряжение Uab можно определить следующим образом:
,
где УEkgk - алгебраическая сумма произведений ЭДС и проводимости ветвей;
Уgk - сумма проводимостей всех ветвей.
Если положительное направление Uab выбрать от точки a к точке b, то все ЭДС, направленные к т. a, входят в выражение со знаком «плюс», в противном случае - со знаком «минус». Для ветвей без источников ЭДС E=0.
Величину тока в любой ветви можно определить по закону Ома для участка цепи, содержащей ЭДС Узловое напряжение Uab может получиться положительным или отрицательным, как и ток в любой ветви. Знак «минус» в вычисленном значении тока указывает, что реальное направление напряжения или тока противоположно выбранному.
Пример 3.
Подставим в формулу для вычисления узлового напряжения данные из примера рис. 2.7
.
Токи в ветвях найдем по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС
I1=(E1-Uab)/R1=[80-(-4)]/60=84/60=1,4 (A).
I2=(-E2-Uab)/R2=[-64-(-4)]/40=-60/40=-1,5 (A).
I3=-Uab/R3=-(-4)/40=4/40=0,1 (A).
3.4 Метод контурных токов
При расчете сложных цепей методом непосредственного применения законов Кирхгофа необходимо решать систему из большого количества уравнений, что значительно затрудняет вычисления.
Значительно упростить вычисления позволяет метод контурных токов, согласно которому каждому независимому контуру цепи приписывается условный (расчетный) ток, называемый контурным током. При этом алгебраическую сумму всех ЭДС, входящих в независимый контур, называют контурной ЭДС; сумму всех сопротивлений контура называют собственным сопротивлением, а сопротивление общей ветви двух контуров называют общим сопротивлением.