Пример 4. Применение метода рассмотрим на примере рис. 2.7.
Цепь состоит из двух независимых контуров I и II, в которых протекают контурные токи I11 и I22. Их положительные направления заданы кривыми стрелками. Составим систему уравнений для контурных токов I11 и I22.
I11•(R1+R2)-I22•R2=E1+E2
I22•(R2+R3)-I11•R2=-E2
Как видно из рис. 2.7, отдельные ветви схемы входят в два смежных контура. Действительный ток в такой общей ветви определяется алгебраической суммой контурных токов смежных контуров (в данном случае это ветвь R2, E2).
Решением системы уравнений являются значения контурных токов I11 и I22., которые и определяют действительные токи в каждой ветви схемы.
Подставим числовые данные в полученную систему уравнений:
100•I11-40•I22=144
-40•I11+80•I22=-64
Решая систему, получим I11=1,4 А, I22=-0,1 А.
Анализируя схему цепи, получим: I1=I11=1,4 А; I2=-I22-I1=-0,1-1,4=-1,5 А; I3=-I22=0,1 А. Полученный результат повторяет предыдущие расчеты.
3.5 Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора рационально применять в случае необходимости определения тока в одной ветви сложной электрической цепи.
Для этой цели разбивают сложную электрическую цепь на две части - на сопротивление R, ток которого I нужно определить, и всю остальную цепь, ее называют активным двухполюсником, так как эта часть имеет две клеммы а и b, к которой и подключается сопротивление R (рис. 2.9).
Активным этот двухполюсник называют потому, что в нем имеется источник ЭДС. Этот активный двухполюсник обладает определенной ЭДС Еэ и определенным внутренним сопротивлением Rэ и называется эквивалентным генератором.
Ток в резисторе с сопротивлением R определяют по закону Ома. Таким образом, определение тока I сводится к вычислению ЭДС эквивалентного генератора Еэ и его внутреннего сопротивления Rэ.
Величина ЭДС Еэ определяется любым методом расчета цепей постоянного тока относительно точек а и b при разомкнутых клеммах, т. е. в режиме холостого хода. Практически эту ЭДС можно измерить вольтметром, подключенным к клеммам а и b при холостом ходе.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора Rэ вычисляется относительно точек а и b после предварительной замены всех источников сложной схемы эквивалентного генератора их внутренними сопротивлениями.
Пример 5. Найдем методом эквивалентного генератора ток в сопротивлении R3 цепи, изображенной на рис. 2.7. Разорвем ветвь R3, получим схему рис. 2.10. Найдем напряжение холостого хода между точками a и b:
I=(E1+E2)/(R1+R2)=144/100=1,44 A;
Uab=I•R2-E2=-6,4 В.
Найдем сопротивление между точками а и b:
Rэ=(R1•R2)/(R1+R2)=24 Ом.
С учетом знака напряжения Uab схема эквивалентного генератора примет вид, изображенный на рис. 2.9. направление тока в сопротивлении R3 однозначно определяется направлением ЭДС. Ток в этой ветви будет равен:
I=Еэ/(Rэ+R3)=6,4/64=0,1 A.
Полученный результат повторяет предыдущие расчеты.
3.6 Баланс мощностей цепи
Баланс мощности цепи составляют для проверки расчетов. Его записывают в виде:
Ррез?Рист, где Ррез= , Рист=
В уравнении баланса произведение (мощность источника) подставляют со знаком "плюс", если истинное направление тока, протекающего через источник, и направление ЭДС источника совпадают, и со знаком "минус" - при встречном направлении (источник работает в режиме приемника). Совпадение P1 и P2 говорит о том, что расчеты выполнены правильно (ошибки могут составлять 5%).
4.Задание для самостоятельного решения
Для заданной электрической цепи постоянного тока выполнить расчеты методом непосредственного применения законов Кирхгофа*. (*- задание метода расчета преподавателем). Выберите схему электрической цепи и значения для силы тока и эдс согласно своего варианта.
Таблица 2. Варианты задания для самостоятельного решения.
|
№ варианта |
№ рисунка/схемы |
R1, Ом |
R2, Ом |
R3, Ом |
е1, В |
е2, В |
е3, В |
|
|
1 |
рис. 1 |
2 |
3 |
4 |
40 |
20 |
15 |
|
|
2 |
рис. 2 |
3 |
6 |
18 |
120 |
120 |
- |
|
|
3 |
рис. 3 |
10 |
5 |
20 |
110 |
60 |
- |
|
|
4 |
рис. 4 |
5 |
8 |
10 |
- |
10 |
40 |
|
|
5 |
рис. 5 |
2 |
4 |
2 |
1 |
3 |
5 |
|
|
6 |
рис. 6 |
36 |
60 |
40 |
120 |
- |
- |
|
|
7 |
рис. 7 |
2 |
3 |
4 |
40 |
20 |
15 |
|
|
8 |
рис. 8 |
5 |
8 |
10 |
- |
10 |
40 |
|
|
9 |
рис. 3 |
10 |
5 |
20 |
110 |
60 |
- |
|
|
10 |
рис. 5 |
2 |
4 |
2 |
1 |
3 |
5 |
Контрольные вопросы:
1. Как выбираются контуры при расчете методом контурных токов?
2. Что такое контур цепи? Перечислите все независимые и смежные контуры Вашей цепи. Что такое узел цепи? Сколько узлов в вашей цепи?
3. Может ли направление тока в ветви, содержащей источник ЭДС, быть встречно направлению этой ЭДС?
4. Для чего составляют баланс мощностей цепи? Напишите уравнение баланса мощностей цепи.
5. Электрическая цепь содержит шесть ветвей и четыре узла. Сколько уравнений следует составлять по первому и сколько по второму законам Кирхгофа.
6. Охарактеризуйте основные этапы метода контурных токов.
7. На сколько число уравнений по этому методу меньше числа уравнений по методу непосредственного применения законов Кирхгофа?
8. В чем состоит достоинство метода двух узлов?
9. Сформулируйте принцип и метод наложения.
10. Приведите примеры, показывающие полезность преобразования звезды в треугольник и треугольника в звезду.
5.Символический метод расчета цепей переменного синусоидального тока
Основным понятием в данном методе является комплексная амплитуда, поэтому его называют также методом комплексных амплитуд. Синусоидальные функции (ток, напряжение, ЭДС) очень просты, но их графическое изображение и операции с ними трудоемки и недостаточно точны. Эти операции можно существенно упростить, если синусоидальные функции времени изобразить комплексными числами.
Из курса математики известно, что любое комплексное число можно представить:
а) - в алгебраической форме ;
б) - в тригонометрической форме ;
в) - в показательной форме .
г) - вектором на комплексной плоскости (рис. 3.12), где A -длина (модуль) вектора, - мнимая единица,
Вещественная часть комплексного числа (real - реальный, вещественный).
Рис.3.12 Мнимая часть комплексного числа (imaginary - мнимый, воображаемый).
Модуль комплексного числа ;
аргумент комплексного числа .
формула Эйлера .
Угол б отсчитывают от положительного направления оси вещественных (ось +1). Положительный угол отсчитывают в направлении, противоположном движению часовой стрелки, отрицательный -- в направлении движения часовой стрелки.
Сложение и вычитание комплексных чисел
.
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексного числа на число eiц сводится к повороту вектора на угол ц.
Умножение комплексных величин на +j=ejр/2 сводится к повороту вектора против часовой стрелки на угол р/2, а умножение на -j=ejр/2 - к повороту вектора на прямой угол по часовой стрелке.
Комплексные числа и называются сопряженными. Произведение сопряженных комплексных чисел вещественно и равно квадрату их модуля
.
Деление комплексных чисел
или в показательной форме .
Возведение комплексных чисел в степень
.
Извлечение корня из комплексного числа (n - целое и положительное число)
;
где k- целое число, равное 0, 1, 2, … ,(n-1).
Запишем в трех формах выражения для единичных действительных и мнимых комплексных чисел (случай А=1):
,
,
,
.
Следует обратить внимание на то, что комплексные изображения несут информацию только о двух параметрах синусоиды - амплитуде и фазе, не отражая ее третьего параметра - угловую частоту щ. Поэтому аппарат комплексных чисел применим для анализа цепи, в которой действуют источники одной известной и неизменной угловой частоты щ.
Рассмотрим синусоидальный ток i=Imsin(щt+шi) и комплексное число
,
модуль и аргумент которого соответственно равны амплитуде и фазе синусоидального тока. С одной стороны, данное комплексное число представляет аналитическую запись вектора с модулем Iт, вращающегося в комплексной плоскости с постоянной угловой скоростью щ, равной угловой частоте синусоидального тока, в направлении, противоположном движению часовой стрелки. С другой стороны, данное комплексное число, согласно формуле Эйлера, можно представить в тригонометрической форме:
Сравнивая последнее с формулой для тока i=Imsin(щt+шi) видно, что
,
т. е. синусоидальный ток равен проекции на ось мнимых чисел вращающегося вектора, изображающего комплексное число.
Таким образом, синусоидальному току i (оригиналу) может быть поставлено в соответствие комплексное число (изображение) . Условная запись такого преобразования имеет вид
Аналогичные преобразования могут быть выполнены для синусоидальных напряжений и ЭДС:
Над комплексными числами, изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи, можно производить все алгебраические действия. При сложении и вычитании комплексных чисел удобнее пользоваться алгебраической формой записи, а при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корней -- показательной формой.
Комплексное число
,
модуль и аргумент которого соответственно равны амплитуде и начальной фазе синусоидального тока, называют комплексной амплитудой тока.
Комплексным действующим током (комплексным током) называют комплексное число
.
Такими же соотношениями связаны комплексные амплитуды и комплексные действующие напряжения и ЭДС.
Комплексное число ejщt называют множителем вращения. При выполнении условия щ=const взаимное расположение всех векторов (ЭДС, напряжения, тока) не изменяются, поэтому весь процесс рассматривают для момента времени t=0 и множитель вращения в дальнейшем не учитывают, т. к. ejщt=0 при t=0. Расчет ведут с использованием комплексных амплитуд или комплексов действующих значений.
Таким образом, при изображении синусоидальных величин комплексными числами в показательной форме записи в качестве модуля следует брать амплитуду (или действующее значение) синусоидальной величины, а в качестве аргумента -- ее начальную фазу.
Режим работы электрической цепи переменного тока, как правило, описывается системой дифференциальных уравнений для мгновенных значений синусоидальных токов, напряжений и ЭДС, членами которых могут быть производные любого порядка и интегралы от синусоидальных функций времени. Поскольку производные любого порядка и интегралы от синусоидальных функций также являются синусоидальными функциями, то им, как и синусоидальным токам, напряжениям и ЭДС, можно поставить в соответствие комплексные числа, являющиеся изображениями этих величин. Так, для синусоидального тока, для которого имеем , получим
Таким образом, производной от синусоидального тока можно поставить в соответствие комплексное число, изображающее этот синусоидальный ток, умноженное на jщ, а интегралу от синусоидального тока -- комплексное число, изображающее синусоидальный ток, деленное на jщ.
Аналогичные преобразования могут быть выполнены и для синусоидальных напряжений и ЭДС.
Комплексный метод расчета электрических цепей синусоидального тока применим только при установившихся режимах работы цепей. Сущность его заключается в том, что, используя указанные преобразования, систему дифференциальных уравнений для действительных функций времени можно заменить системой алгебраических уравнений с комплексными токами, напряжениями и ЭДС. Переход от дифференциальных уравнений к алгебраическим уравнениям с комплексными числами осуществляют заменой в них мгновенных значений тока i, напряжения и, ЭДС е, а также производных и интегралов от них -- комплексными числами.
Так как комплексные амплитуды тока, напряжения и ЭДС и комплексные действующие токи, напряжения и ЭДС можно изображать векторами на комплексной плоскости, то расчет электрических цепей полезно сопровождать построением векторных диаграмм, под которыми: понимают совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты и построенных с соблюдением правильной их ориентации относительно друг друга по фазе, что в ряде случаев позволяет выявить ошибки расчета. На векторных диаграммах принято изображать векторы комплексных токов, напряжений и ЭДС или комплексные амплитуды этих величин для момента времени t=0.