Контрольная работа: Основы электротехники

5.1 Законы Ома и Кирхгофа в символической форме

Комплексная величина, равная отношению комплексного напряжения на зажимах данной пассивной электрической цепи или ее элемента к комплексному току в этой цепи или в этом элементе, называется комплексным электрическим сопротивлением

,

где Z=U/I - полное сопротивление, а R=Zcosц; X=Zsinц - активное и реактивное сопротивления цепи.

Отметим, что обозначение комплексного сопротивления отличается от обозначения комплексов тока и напряжения. Вместо точки над буквой символ комплексного сопротивления имеет черту снизу. Это различие объясняется тем, что сам комплекс Z не служит изображением синусоидальной функции, а является комплексным числом, с помощью которого сопоставляются комплексные изображения напряжения и тока.

Комплексная величина, равная отношению комплексного тока в данной пассивной электрической цеп или ее элементе к комплексному напряжению на ее зажимах или ее элементе называется комплексной электрической проводимостью

.

где Y=I/U - полная проводимость, а g=Ycosц; b=Ysinц, - активная и реактивная проводимости цепи. Комплексную проводимость можно определить как величину, обратную комплексному сопротивлению

.

Обратим внимание на то, что переход от комплексного сопротивления Z=R+jX к комплексной проводимости Y=g-jb и обратно соответствует замене схемы цепи с последовательным соединением R и Х эквивалентной схемой с параллельным соединением g и b и обратно.

Комплексное сопротивление цепи при последовательном соединении n двухполюсников равно

, где , .

Если известны комплексные проводимости параллельно соединенных n двухполюсников, то комплексная проводимость цепи

, где , .

В случае параллельного соединения двух двухполюсников их эквивалентное комплексное сопротивление

.

Закон Ома в комплексной форме имеет вид:

или

В символической записи закона Ома учитываются не только соотношения между действующими значениями напряжения и тока, но также сдвиг по фазе между ними.

Для цепей синусоидального тока также справедливы законы Кирхгофа, сформулированные ранее для цепей постоянного тока. Но так как синусоидальные величины (ЭДС, напряжение, ток) характеризуются мгновенными, максимальными и действующими значениями, то для каждого из них существуют свои формулировки законов Кирхгофа.

Для мгновенных значений законы Кирхгофа справедливы в алгебраической форме. Для амплитудных и действующих значений законы Кирхгофа справедливы только в векторной или комплексной форме.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме.

Сумма комплексных токов в узле равна нулю:

где n - количество ветвей, подключенных к узлу.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме.

Сумма комплексных ЭДС в контуре равна сумме комплексных падений напряжения в этом контуре:

.

где n - количество источников ЭДС в контуре, а m - количество пассивных элементов в этом же контуре.

При составлении уравнений по законам Кирхгофа в цепях синусоидального тока необходимо указать условное положительное направление ЭДС, задать условное положительное направление токов в ветвях и положительное направление падений напряжений на участках цепи, совпадающее с положительным направлением тока. Знак слагаемых в уравнениях определяется так же, как в цепях постоянного тока. Это относится как к мгновенным значениям синусоидальных величин, так и к комплексным.

5.2 Расчет разветвленных цепей переменного тока символическим методом

Пример 1. Найти токи в схеме (рис. 3.15). Положительные направления ЭДС указаны на схеме стрелками,

Решение. Запишем ЭДС в комплексной форме: Выберем положительные направления для токов в ветвях к узлу А.

1. Проведем расчет цепи методом двух узлов Определим проводимости ветвей: Y₁=1/Z₁=1/2=0,5 См; Y₂=1/Z₂=l/(-j10)=j0,1 См; Y₃=1/Z₃=1/(j5)=-j0,2 Cm. Заземлим точку B. Составим уравнение для расчета межузлового напряжения:

Токи ветвей найдем по закону Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС:

2. Проведем расчет цепи методом контурных токов.

Собственные сопротивления контуров I и II:

Z₁=R₁-jX_C2=2-j10 Ом, Z₂=j(X_L3-X_C2)=-j5 Ом.

Общее сопротивление контуров I и II: Z₁₂=Z₂₁=-jX_C2=-j10 Ом.

Составим систему уравнений:

Э₁₁Z₁-Э₂₂Z₁₂=Л₁

-Э₁₁Z₁₂+Э₂₂Z₂=-Л₃

Э₁₁(2-j10)-Э₂₂(-j10)=120

-Э₁₁(-j10)+Э₂₂(-j5)=-100е-^30°=-(86,6-j50)

Решая систему относительно тока Э₁₁, получим:

Подставим полученное значение тока Э₁₁ во второе уравнение системы:

j10(8,6+j7,03)-j5Э₂₂=-86,6+j50; j5Э₂₂=-16,3-j36; Э₂₂=7,2-j3,26=7,9e-^j24,3°;

Э₃=-Э₂₂=7,9e^{j(180-24,3°)}=7,9e^j155,7° (A);

Э₂=Э₂₂-Э₁₁=7,2-j3,26-8,6-j7,03=-1,4-j10,3=10,4e-^j98° (A).

Оба способа решения задачи дают практически одинаковые результаты. Небольшие расхождения объясняются неточностью при вычислении значений тригонометрических функций при углах, близких к 0 или ±90°.

В домашнем задании №2 необходимо найти токи I₁ ,I₂ , I₃ комплексным методом, согласно выбранного варианта в схеме рис.3.15:

Таблица

Для примера рассмотрим решение варианта №4\

Дано: e₁ = 155cos(щt+30°); e₂ =113sin(щt+30°)

R = 7 Ом, C = 200мкФ, L = 11 мГн,

Найти: I₁ , I_{2 ,} I₃ .

Задачу будем решать комплексным методом, для этого приведем исходные данные в комплексный вид:

В общем виде мгновенное значение ЭДС представлено : e = E_msin (щt+ц).

Исходя из этого : e₁ = 155cos(щt+30°) = 155sin(щt+90°+30°) = 155sin(щt+120°)

Комплексная действующая амплитуда будет равна:

₁ = 155/v2cos120° + j155/v2sin120° = - 110sin30° + j110cos30° = - 110(0,5) + j110 (0,86) = - 55 + j94,6;

₂ = 113/v2cos60° + j155/v2sin60° = 80cos60° + j80sin60° = 80(0,5) + j80(0,86) =

40 + j68,8;

X_C = 1/ щC = 1/ 2р f C = 1/ (2*3,14*50*200*10^-6) = - j16;

X_L = щL = 2р f L = 2*3,14*50*11*10^-3) = +j 3,5;

Z₁ = R + X_C = 7 - j16; Z₂ = X_C + X_L = - j16 + j3,5 = - j12,5;

Z₁₂ = X_C = - j16.

Для решения задачи применим метод контурных токов:

₁₁ Z₁ - ₂₂ Z₁₂ =₁

₂₂ Z₂ - ₁₁ Z₁₂ =₂

₂₂ = ( ₁₁ Z₁ - ₁) / Z₁₂

(( ₁₁ Z₁ - ₁) / Z₁₂) Z₂ - ₁₁ Z₁₂ = ₂ = ((₁₁(7-j16) - (-55+j94,6)) (-j12,5) / (-j16) =

₁₁ (5,6 + j12,8) + 44 - j75,7 + ₁₁ j16 = - 40 - j68,8

₁₁ (5,6 + j3,2) = - 84 + j6,9

₁₁ = (- 84 + 6,9) / (5,6 + j3,2) = -10,8 + j7,4

₂₂ = ( ₁₁ Z₁ - ₁) / Z₁₂ = ((-10,8 + j7,4) (7-j16) - (-55+j94,6)) / (- j16) =

= (42,8 + j224,6 + 55 - j94,6) / (- j16) = (97,8 + j129,4) / (- j16) = - 8,1 +j6,1

₁ = ₁₁ = -10,8 + j7,4

₃ = ₂₂ = - 8,1 +j6,1

₂₂ = ₁₁ - ₂₂ = -2,7 + j13,5

6.Расчет трехфазных цепей с соединением по схеме «звезда» или «треугольник»

Трехфазная симметричная система ЭДС может изображаться графиками, тригонометрическими функциями, векторами и функциями комплексного переменного.

Графики мгновенных значений трехфазной симметричной системы ЭДС показаны на рис. 3.3.

Если ЭДС одной фазы (например, фазы А) принять за исходную и считать её начальную фазу равной нулю, то выражения мгновенных значений ЭДС можно записать в виде

e_A = E_m sin щt, e_B = E_m sin (щt - 120°), e_C = E_m sin (щt - 240°) = E_m sin (щt + 120°).

Рис.4

Комплексные действующие ЭДС будут иметь выражения: (3.3)

Л_A = E_m e^j0° = E_m (1 + j0),

Л_B = E_m e^-j120° = E_m (-1/2 - j/2),

Л_C = E_m e^+j120° = E_m (-1/2 + j/2).

Векторная диаграмма трехфазной симметричной системы ЭДС показана на рис 3.4а.

Рис. 3.4

На диаграмме рис. 3.4а вектор Л_A направлен вертикально, так как при расчете трехфазных цепей принято направлять вертикально вверх ось действительных величин. Из векторных диаграмм рис 3.4 следует, что для симметричной трехфазной системы геометрическая сумма векторов ЭДС всех фаз равна нулю:

Л_A + Л_B + Л_C = 0.

6.1 Соединение фаз генератора и приемника звездой

При соединение фаз обмотки генератора (или трансформатора) звездой их концы X, Y и Z соединяют в одну общую точку N, называемую нейтральной точкой (или нейтралью) (рис. 3.6). Концы фаз приемников (Z_a, Z_b, Z_c) также соединяют в одну точку n. Такое соединение называется соединение звезда.

Рис. 3.5

Провода A-a, B-b и C-c, соединяющие начала фаз генератора и приемника, называются линейными, провод N-n, соединяющий точку N генератора с точкой n приемника, - нейтральным.

Трехфазная цепь с нейтральным проводом будет четырехпроводной, без нейтрального провода - трехпроводной.

6.2 Трехпроводная электрическая цепь

закон фаза генератор

Схема соединения источника и приемника звездой без нейтрального провода приведена на рис. 3.10.

Рис. 3.6

В трехфазных цепях различают фазные и линейные напряжения. Фазное напряжение U_Ф - напряжение между началом и концом фазы или между линейным проводом и нейтралью (U_A, U_B, U_C у источника; U_a, U_b, U_c у приемника). Если сопротивлением проводов можно пренебречь, то фазное напряжение в приемнике считают таким же, как и в источнике. (U_A = U_a, U_B = U_b, U_C = U_c). За условно положительные направления фазных напряжений принимают направления от начала к концу фаз.

Линейное напряжение (U_Л) - напряжение между линейными проводами или между одноименными выводами разных фаз (U_AB, U_BC, U_CA). Условно положительные направления линейных напряжений приняты от точек, соответствующих первому индексу, к точкам соответствующим второму индексу (рис. 3.6).

По аналогии с фазными и линейными напряжениями различают также фазные и линейные токи:

· Фазные (I_Ф) - это токи в фазах генератора и приемников.

· Линейные (I_Л) - токи в линейных проводах.

При соединении в звезду фазные и линейные токи равны

I_Ф = I_Л.

Ток, протекающий в нейтральном проводе, обозначают I_N.

По первому закону Кирхгофа для нейтральной точки n(N) имеем в комплексной форме

Э_N = Э_A + Э_B + Э_C.

Рис. 3.7

6.3 Соединение фаз генератора и приемника треугольником

При соединении источника питания треугольником (рис. 3.12) конец X одной фазы соединяется с началом В второй фазы, конец Y второй фазы - с началом С третьей фазы, конец третьей фазы Z - c началом первой фазы А. Начала А, В и С фаз подключаются с помощью трех проводов к приемникам.

Рис. 3.8

Соединение фаз источника в замкнутый треугольник возможно при симметричной системе ЭДС, так как

Л_A + Л_B + Л_C = 0

Если соединение обмоток треугольником выполнено неправильно, т.е. в одну точку соединены концы или начала двух фаз, то суммарная ЭДС в контуре треугольника отличается от нуля и по обмоткам протекает большой ток. Это аварийный режим для источников питания, и поэтому недопустим.

Напряжение между концом и началом фазы при соединении треугольником - это напряжение между линейными проводами. Поэтому при соединении треугольником линейное напряжение равно фазному напряжению.