Материал: Основы инженерного эксперимента. Солженикин П.А., Стогней В.Г

Продолжение табл. 2.1

Значения критерия Кохрана приведены в статистической таблице (Приложение 1). Они соответствуют доверительной вероятности Р = 0,95, с которой принимается гипотеза о воспроизводимости опытов.

Величина р = 1 – Р называется уровнем значимости. Для нахождения GT необходимо знать общее количество

оценок дисперсий N и число степеней свободы f, связанной с каждой из них, причем f = k 1.

Если выполняется условие:

Gp≤GT, (2.4)

то опыты считаются воспроизводимыми, а ряд дисперсий – однородным.

Если опыты невоспроизводимы, то можно попытаться достигнуть воспроизводимости выявлением и устранением источников нестабильности эксперимента, а также использованием более точных методов и средств измерений.

Наконец, если никакими способами невозможно достигнуть воспроизводимости, то математические методы планирования к такому эксперименту применять нельзя.

2.2. Общие положения ТПЭ

Вид функции отклика y = F(x1, x2 , ..., xn ) заранее

неизвестен. Для отыскания этой неизвестной функции предложена идея рассматривать не саму функцию, а ее разложение в какой-либо степенной ряд, например, ряд

15

Тейлора:

где 0 y(0,…,0) – значение функции отклика в начале координат;

На практике ограничиваются конечным числом членов разложения ряда (2.5), аппроксимируя функцию F полиномами первой или второй степени. Коэффициенты разложения находят по результатам экспериментов [1].

2.3. Кодирование факторов

Для простоты изложения примем y=F(x1, x2).

Пусть каждому фактору соответствует координатная ось (это можно сделать, так как факторы независимы). Образованное таким образом пространство называется факторным (рис. 2.1).

Отметим диапазоны изменения факторов: xi min –

нижний уровень; xi max– верхний уровень, i = 1, 2. Найдем середины этих диапазонов – основные уровни

и шаг варьированияфактора

16

Рис. 2.1. Переход от реальных факторов к кодированным

Перенесем начало координат в точку 0 (x10 , x20) и

перейдем к новым координатам по формуле

Назовем Xi – кодированными координатами. В кодированном виде верхний уровень любого фактора имеет значение “+1”, нижний – “- 1”, основной – “0”. Кодирование уровней факторов проводится для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных.

2.4. Рандомизация эксперимента

Для того, чтобы в известной мере компенсировать систематические погрешности эксперимента, используют прием, называемый рандомизацией. Он заключается в том, что опыты проводят в случайной последовательности, которая устанавливается с помощью таблицы случайных чисел.

17

Пусть, например, требуется рандомизировать во времени 6 опытов, обозначенных цифрами I, II,…,VI. Поставим им в соответствие любые 6 последовательных чисел, взятых в любой строке или в любом столбце таблицы случайных чисел [2]. Если при этом встретятся повторяющиеся числа, то их следует отбросить.

Например, могут быть получены следующие пары: I–60; II–12; III–05; IV–15; V–34; VI–30.

Расположив случайные числа в порядке возрастания (или убывания), получим искомую последовательность реализации опытов:

III, II, IV, VI, V, I (или I, V, VI, IV, II, III).

2.5. Метод полного факторного эксперимента

В методе полного факторного эксперимента (ПФЭ) ограничиваются линейной частью разложения (2.5) и членами, содержащими произведения факторов в первой степени.

Коэффициенты искомого уравнения определяют на основе экспериментальных данных и, следовательно, несут на себе отпечаток погрешностей эксперимента. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в уравнении вместо символов β, обозначающих истинные значения коэффициентов, пишут b, подразумевая под этим соответствующие выборочные оценки.

Итак, с помощью ПФЭ ищут математическое описание процесса в виде уравнения

y b0 b1 X1 b2 X2 ... bn Xn

(2.9)

b12 X1X2 ... bn 1 n Xn 1Xn.

Его называют уравнением регрессии, а коэффициенты – коэффициентами регрессии.

Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все факторы в ходе полного факторного эксперимента варьируют

18

на двух уровнях, соответствующих значениям кодированных переменных +1 и –1.

Таким образом, полным факторным экспериментом называется система опытов, содержащая все возможные неповторяющиеся комбинации верхнего и нижнего уровней факторов.

В табл. 2.2 приведены условия проведения опытов полного двухфакторного эксперимента. Часть таблицы, обведенная пунктиром, называется матрицей планирования.

Таблица 2.2

Полный двухфакторный эксперимент

Опыты, приведенные в табл. 2.2, соответствуют на факторной плоскости вершинам квадрата с центром в начале координат (рис. 2.2).

В табл. 2.3 приведены условия опытов полного трехфакторного эксперимента. Эти опыты соответствуют в факторном пространстве вершинам куба с центром в начале координат.

19