Материал: Основы инженерного эксперимента. Солженикин П.А., Стогней В.Г
X2
3 |
+1 |
4 |
–1 |
0 |
+1 |
X 1 |
|
|
|
1 |
–1 |
2 |
Рис. 2.2. Опыты полного двухфакторного эксперимента
|
Полный трехфакторный эксперимент |
Таблица 2.3 |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Номер опыта |
|
Факторы |
|
|
Функция |
|
|
|
X1 |
X 2 |
X 3 |
|
отклика |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
y1э |
2 |
|
+1 |
1 |
1 |
|
y2э |
3 |
|
1 |
+1 |
1 |
|
y3э |
4 |
|
+1 |
+1 |
1 |
|
y4э |
5 |
|
1 |
1 |
+1 |
|
y5э |
6 |
|
+1 |
1 |
+1 |
|
y6э |
7 |
|
1 |
+1 |
+1 |
|
y7э |
8 |
|
+1 |
+1 |
+1 |
|
y7э |
|
|
|
20 |
|
|
|
Из этих таблиц видны основные принципы построения матрицы планирования ПФЭ:
уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта копыту;
частота смены уровней варьирования каждого последующего фактора вдвое меньше, чем в предыдущем.
Матрица планирования полного факторного эксперимента
обладает следующими свойствами:
|
N |
|
|
|
1. |
X ji |
0; |
|
(2.10) |
|
j 1 |
|
|
|
|
N |
|
|
|
2. |
X 2ji |
N; |
(2.11) |
|
|
j 1 |
|
|
|
|
N |
|
|
|
3. |
X jl X jm |
0, |
(2.12) |
|
|
j 1 |
|
|
|
где l m,N – число опытов; j – номер опыта;
i, l, m – номера факторов.
Свойство, выраженное уравнением (2.12), называется ортогональностью. Поэтому говорят, что матрица полного факторного эксперимента ортогональна. Это свойство позволяет вычислять коэффициенты регрессии по простым формулам независимо друг от друга.
Общее количество опытов в матрице планирования
N 2n |
(2.13) |
21
где n – число факторов.
На основании ПФЭ вычисляют коэффициенты регрессии, пользуясь следующими формулами:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
b0 |
|
|
|
yj; |
|
|
|
|
|||||
|
|
N |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
1 |
N |
X |
|
y |
|
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(2.14) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
i |
N |
j 1 |
ji |
|
j |
|
|
||||||
|
|
1 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
||||
blm |
|
X jl X jm yj |
, |
|
||||||||||
N |
|
|||||||||||||
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
гдеl m. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Благодаря кодированию факторов расчет коэффициентов превратился в простую арифметическую процедуру (для расчетов используются соответствующие вектор-столбцы).
Так, для полного двухфакторного эксперимента уравнение регрессии имеет вид
y b0 b1X1 b2 X2 b12 X1X2 .
По табл. 2.2 находим коэффициенты:
b0 y1э y2э y3э y4э,
b1 ( 1)y1э ( 1)y2э ( 1)y3э ( 1)y4э, b2 ( 1)y1э ( 1)y2э ( 1)y3э ( 1)y4э,
b12 ( 1)( 1)y1э ( 1)( 1)y2э ( 1)( 1)y3э ( 1)( 1)y4э.
Значения коэффициентов указывают на силу влияния факторов на функцию цели.
Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться пренебрежимо малыми – незначимыми. Для установления
22
факта незначимости коэффициента необходимо вычислить оценки дисперсии, с которой они определялись:
S2
Sв2 воспр ,
Nk
где Sвоспр2 N1 S2j ,
k — число параллельных опытов.
С оценками дисперсий Sвоспр2 и Sв2 степеней свободы:
fвоспр N(k 1).
(2.15)
связывают число
(2.16)
Принято считать, что коэффициент регрессии значим, если выполнено условие
|
в |
|
Sв t ,n , |
(2.17) |
|
|
где t ,n — значение критерия Стьюдента, которое находят по
таблицам (Приложение).
Здесь индекс α — заданная доверительная вероятность;
n fвоспр N(k 1).
В противном случае коэффициент незначим, и соответствующий член можно исключить из уравнения регрессии.
Далее следует проверить адекватность полученного уравнения регрессии.
Под адекватностью в данном случае понимают способность построенной математической модели соответствовать результатам эксперимента с заданной степенью точности. Эту проверку осуществляют с помощью критерия Фишера
S2
F ад б , (2.18)
p Sвоспр2
23
где Sад2 — оценка дисперсии адекватности,
|
|
N |
|
|
|
|
|
k (yэj |
yjр )2 |
(2.19) |
|
S2 |
|
j 1 |
|
||
|
|
, |
|||
Sвоспр2 |
|||||
ад |
|
|
|||
yэj , yjp — экспериментальные и расчетные значения
функции отклика в j-ом опыте; N — число опытов ПФЭ; n — число факторов;
k— число параллельных опытов.
Сдисперсией адекватности (2.19) связывают число степеней свободы:
fад N (n 1). |
(2.20) |
По таблицам для критерия Фишера [3], зная fвоспр и fад , определяют табличное значения FT.
Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие
Fp FT . |
(2.21) |
Функция цели у найдена для кодированных факторов; чтобы перейти к реальным факторам, достаточно сделать подстановку
Xi xi xi0 , xi
где xi , xi0, xi — значения соответствующего реального фактора.
24