Материал: Основы проектирования Р Э С. Комплект учебно-методической документации по дисциплине. Учебное пособие. Самойленко Н.Э., Скоробогатов В.С

87

Метод конечных элементов, в отличие от метода конечных разностей, позволяет получить решение в аналитическом виде, но не позволяет провести количественной оценки точности полученного решения [8].

Основная идея метода конечных элементов заключается в разложении искомого решения ДКЗ (неизвестной функции u(x) по базисным функциям S1(x), ..., SN(x), где N - число узлов разбиения конструкции)

N

u(x) =i, Si(x) (3.16) i=1

где i - коэффициенты разложения, которые требуется найти. Такое разложение можно рассматривать как аналогию разложения произвольного вектора в векторном пространстве R3 по единичным ортам (базисным векторам), то есть так же как в векторном пространстве любой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, так в функциональном пространстве любую функцию можно представить в виде (3.16).

Рассмотрим основные этапы метода конечных элементов.

1. Разбиваем конструкцию РЭС или ее отдельный участок на конечные элементы (в одномерном случае u = u(x) конечный элемент - отрезок, в двумерном u = u(x, y) - треугольник, в трехмерном - пирамида или куб). Полученные конечные элементы объединяют в "ансамбль", то есть вводят сквозную нумерацию для вершин всех конечных элементов. Обозначим N общее число вершин конечных элементов. В результате получаем сеточное разбиение исследуемой области.

В каждом из узлов конечных элементов (узлов сетки) построим базисную функцию. Базисная функция Si(x) это

88

полином (обычно первой степени, то есть линейная функция), обладающая следующим свойством: базисная функция Si(x) равна 1 только в i-ом узле сетки, а в остальных узлах равна 0

3. Требуется найти коэффициенты разложения (2.24) 1, ..., N (базисные функции S1(x), ..., SN(x) к данному моменту уже известны (константы), следовательно под знаком интеграла стоят полиномы не выше второго порядка, вычисление интегралов в таком случае не представляет серьезной проблемы, причем в ходе вычислений учитываются граничные условия. Для этого должна быть получена система из N линейных уравнений относительно N неизвестных (коэффициентов 1, 2, ..., N). Решив полученную систему на ЭВМ и подставив найденные значения i, в формулу (3.16) получим искомое решение u(x) ДКЗ (3.4).

Полученную систему линейных алгебраических уравнений решают на ЭВМ, так как на практике целесообразно для достижения хорошей точности решения выбирать возможно меньший шаг разбиения h, и получаемые в методе конечных элементов системы имеют большую размерность.

3.6.4.Задания и вопросы для самостоятельной подготовки

1.Приведите пример непрерывной и дискретной модели технического устройства.

2.Приведите примеры математических моделей различных уровней иерархии.

3.Охарактеризуйте математическую постановку полевых задач.

4.Почему на практике применяют численные методы анализа полей в конструкциях РЭС?

4.Постройте разностные схемы для ДКЗ (2.22) с шаблонами левой и центральной производных (рис. 2.5).

89

6. Проведите сравнительный анализ численных методов анализа полей и дайте рекомендации по практическому применению каждого из них.

4.6. Параметрическая оптимизация в задачах проектирования РЭС

3.7.1. Основные понятия

Оптимальное проектирование – это процесс принятия наилучших (оптимальных в некотором смысле) решений с помощью ЭВМ. Данная проблема возникает и требует решения на всех этапах проектирования и во многом определяет технико-экономическую эффективность и технологичность проектируемых изделий.

Большинство задач принятия решений можно сформулировать в терминах теории математического программирования, то есть в виде совокупности критериев качества и ограничений.

В соответствии с общепринятыми обозначениями выделим управляемые (внутренние) параметры объекта проектирования X=(x1, x2.,…,xn) и выходные параметры

Y=( y1,y2.,…,ym).

Как правило, при оптимизации целесообразно изменять не все внутренние параметры, а только те из них, которые оказывают наиболее существенное влияние на выходные параметры. Выбор управляемых параметров

осуществляют либо по результатам анализа чувствительности, либо в интерактивном режиме по желанию проектировщика / 2

, С. 25-28 /.

90

Известна математическая модель объекта проектирования, задающая зависимость выходных параметров Y от управляемых параметров X , адекватно описывающая работу объекта проектирования:

где вектор F=(f1,f2.,…,fm) в качестве компонент может включать как функциональные, так и алгоритмические зависимости. В скалярном виде формула (3.17) примет вид:

проектировании в рамках блочно-иерархического подхода / 3, С. 1115 /, то есть к задачам структурной оптимизации.

Выбор варианта структуры во многом снимает неопределeнность, что позволяет строить математическуюмодель (3.17), (3.18) и проводить на ее основе параметрическую оптимизацию, то есть подбор наилучшего набора значений управляемых параметров, при которых выполняются ограничения

91

(технические требования технического задания) и достигают своих экстремальных значений (максимума или минимума) критерии качества объекта проектирования (наиболее важные с точки зрения проектировщика выходные параметры объекта проектирования, по которым оценивается его качество).

3.7.2. Постановка задачи параметрической оптимизации на основе анализа требований ТЗ

Критерии качества и ограничения задачи параметрической оптимизации прямо либо опосредованно зависят от выходных параметров объекта проектирования Y=(y1,y2.,…,ym).

В простейшем случае в качестве критериев качества могут быть выбраны наиболее существенные с точки зрения проектировщика выходные параметры. Все остальные выходные параметры при этом необходимо учесть в виде ограничений. Критерии качества в литературе принято называть также целевыми функциями, критериями оптимальности, частными критериями качества, функциями цели и т.п..

Обозначим критерии качества Ki=Ki(x1,x2.,…,xn), i=1,…,s, где s – количество критериев качества, а Ki(X) – либо один из выходных параметров Y=(y1,y2.,…,ym), либо Ki(X)=f(X), где зависимость f(X) задана.

Все ограничения задачи параметрической оптимизации получаем на основе анализа технических требований к параметрам объекта проектирования, содержащихся в ТЗ. Рассмотрим формализацию ограничений на примере выходных

параметров Y ( для внутренних параметров Х справедливы аналогичные рассуждения ).

92

Технические требования имеют вид yj = TTj + j, где TTj – желаемое значение параметра yj,j– его допустимый разброс ( j=1,…,m ).

Математическая постановка задачи параметрической оптимизации как задачи математического программирования имеет вид

Ki=Ki(X) extr,

gl(X) , (3.19) i=1,…,s,

l=1,…,L.

Рассмотрим в качестве примера типичное ТЗ на разработку непрерывного объекта – ТЗ на разработку принципиальной схемы электронного усилителя: ‖Коэффициент усиления Кo на средних частотах должен быть быть не менее 10000, входное сопротивление Rвх не менее 1 МОм, выходное сопротивление Rвых не более 200 МОм, верхняя граничная частота fв не менее 100 кГц, температурный дрейф нуля Uдр не более 50 мКв/град; усилитель должен нормально функционировать в диапазоне температур от –50 до +60 градусов Цельсия, напряжения источников притания +5 и –5 В, предельные отклонения напряжений не более +0,5%, усилитель эксплуатируется в стационарной установке, монтаж выполнять на печатной плате 60х40 мм‖. В данном случае выходными параметрами являются Y={ Кo,Rвх, Rвых, fв, Uдр }. К внешним воздействиям относятся температура окружающей среды и напряжения источников питания. Управляемыми параметрами являются параметры элементов схемы Особенность технического задания для дискретных объектов заключается в форме записи ограничений (условий работоспособности), которые могут иметь вид логических уравнений, таблиц истинности или даже текстовую форму.

93

Целью решения задачи параметрической оптимизации (3.19) является определение такого набора значений параметров X*=(x1*, x2*.,…,xn*), X* ХР, при котором критерии качества Ki(X*), i=1,…,s достигают своих наилучших (минимальных или максимальных ) значений.

3.7.3Классификация задач параметрической оптимизации

Задача параметрической оптимизации (3.19) является многопараметрической, многокритериальной и содержит ограничения, все эти факторы определяют проблемы, возникающие в процессе ее решения. В зависимости от вида критериев качества и ограничений, проводят классификацию задач параметрической оптимизации (задач математического программирования). Если целевая функция и ограничения линейные функции вида

С0 + С1Х1+ С2Х2+…+ СnХn.,

то задача оптимизации называется задачей линейного программирования, в противном случае – задачей нелинейного программирования.

Если целевая функция квадратичная, а ограничения – линейные функции, то задача (3.19) называется задачей квадратичного программирования.

Если целевая функция и ограничения имеют вид

., Х1Х2…Хn

то задача (3.19) – это задача геометрического программирования.

Если целевую функцию можно представить в виде суперпозиции функций

f1 (f2 (f3 …( fk (Х))…))

94

то задача (3.19) – это задача динамического программирования.

Если целевая функция и ограничения целочисленные функции то задача (3.19) – это задача целочисленного программирования.

Кроме того, в зависимости от вида используемых математически моделей, задача оптимизации может быть детерминированной или стохастической, непрерывной или дискретной, аналитической или алгоритмической, при этом для каждого класса задач имеется свой, в достаточной степени апробированный, математический аппарат. Так, для задач линейного программирования успешно применяется симплекс-метод / 4 /.

Характерной особенностью задач оптимизации в САПР является тот факт, что классические методы нахождения экстремума практически неприменимы, так как в большинстве случаев используются алгоритмические модели. В связи с этим вычисление значений критериев качества и их производных производится численными методами. Поэтому наиболее универсальными и эффективными для задач нелинейного программирования являются методы поисковой оптимизации.

Для обеспечения возможности применения методов поиска к решению задачи оптимизации в постановке (1.3) необходимо некоторым образом упростить математическую постановку задачи: перейти от многокритериальной задачи оптимизации к однокритериальной и от задачи с ограничениями - к задаче безусловной оптимизации.

3.7.4Задания и вопросы для самостоятельной подготовки

1.Что такое параметрическая оптимизация?

4Как выбрать критерии качества?

5В каком виде можно записать любое ограничение?

6Что такое область работоспособности?

7Могут ли критерии качества быть противоречивыми?

95

8Приведите пример задачи линейного программирования.

9Приведите пример задачи целочисленного программирования.

3.7 .3 . Методы перехода от многокритериальной задачи оптимизации к однокритериальной

Для того, чтобы оценить, насколько хорошо удовлетворяют требованиям ТЗ значения частных критериев качества при заданном наборе значений внутренних параметров X=(x1, x2.,…,xn), нужно построить обобщенный критерий качества (обобщенную целевую функцию) f(Х), которая одновременно учитывает требования ко всем частным критериям.

Иными словами, от многокритериальной задачи параметрической оптимизации в виде:

K1(X) extr,

. . . (3.20) Ks(X) extr,

gl(X) 0, l=1,…,L,

необходимо перейти к однокритериальной задаче:

96

f(X) extr,

gl(X)0, l=1,…,L, (3.21) X=(x1, x2.,…,xn).

Наиболее часто на практике используются следующие методы построения целевой функции (методы векторной свертки частных критериев) : метод главного критерия, аддитивный, мультипликативный, минимаксный и вероятностный.

В методе выделения главного критерия проектировщик выбирает один, наиболее важный с его точки зрения частный критерий качества, который и принимается за обобщенную целевую функцию. Требования к остальным частным критериям учитывают в виде ограничений.

f(X)=Kt(X),

где t – номер наиболее важного частного критерия.

Например, задана принципиальная электрическая схема логического элемента и условия работоспособности на следующие выходные параметры: y1 – коэффициент нагружения, y2 – запас помехоустойчивости, y3 – средняя рассеиваемая мощность, y4задержка распространения сигнала. Необходимо рассчитать параметры пассивных элементов, то есть управляемые параметры – это сопротивления резисторов. В качестве целевой функции может быть выбран один из выходных параметров, например, y4 ( f(X)= y4 ).

В аддитивном методе каждому из частных критериев качества ставится в соответствие весовой коэффициент

характеризующий важность данного критерия с точки зрения проектировщика.

При построении целевой функции в аддитивном методе используется соотношение: если f (X) max, то

-f (X) min. Каждый частный критерий включаетcя в аддитивную целевую функцию по правилу: умножается на