Материал: Основы проектирования Р Э С. Комплект учебно-методической документации по дисциплине. Учебное пособие. Самойленко Н.Э., Скоробогатов В.С

77

доступных для контроля сигналов, а также элементов и узлов с малыми запасами работоспособности.

9. Синтез программы испытаний РЭС, то есть постановка задач испытаний и подготовка данных по условиям проведения испытаний.

Причем задачи 4, 5, 6, 7 имеют вероятностный характер.

На каждом этапе проектирования используются свои математические модели (ММ). Но все ММ должны обладать свойствами точности, адекватности, экономичности, универсальности [4].

Точность ММ означает степень соответствия модели объекту

проектирования (ОП), то есть уфиз. - урасч. Е, где Е - точность ММ, уфиз. - реальное значение параметра, урасч. - значение

параметра у, полученное в результате расчета по ММ. Модель, описывающая ОП с заданной точностью, называется адекватной.

Экономичная модель характеризуется минимальными затратами времени и памяти ЭВМ на расчет по данной модели. Универсальная ММ пригодна не только для исследования одного конкретного ОП, а для целого класса РЭС или ТП. Рассмотрим принципы классификации математических моделей.

Полная ММ описывает все возможные физические процессы, происходящие в ОП. Полная ММ очень сложная, многоуровневая. На практике используют только те уравнения, которые описывают исследуемые свойства РЭС или ТП: например, только электрические, механические или тепловые процессы в РЭС. Конечно, это упрощенные модели. Их называют макромоделями.

Структурные ММ характеризуют из каких элементов строится ОП, при этом РЭС или ТП описывается в виде графов и матриц. Функциональные ММ описывают физические процессы,

78

происходящие в ОП.

Детерминированные ММ, в отличие от вероятностных ММ, не учитывают случайных факторов функционирования ОП. Непрерывные ММ рассматривают поведение ОП в любой момент времени и при всех возможных значениях параметров ОП в пределах допустимых интервалов. Дискретные ММ изучают поведение ОП только в определенные моменты времени и при определенных наборах значений параметров ОП.

На ранних стадиях проектирования (блоки высшего уровня) ОП рассматривают в целом как очень сложную систему. При этом невозможно исследовать подробно физические процессы, происходящие в РЭС или ТП. Модели, которые используют в таких случаях, называют моделями мегауровня. Обычно это структурные модели - системы линейных алгебраических уравнений (ЛАУ), то есть самые простые расчетные формулы, по сравнению с другими это наименее точные ММ.

На средних уровнях проектирования рассматриваются отдельные блоки ОП. ММ этих уровней называют моделями макроуровня: это обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ), где независимой переменной является только время t (более точные модели по сравнению с моделями мегауровня).

На заключительной стадии проектирования (при проектировании блоков низшего уровня) появляется возможность самого подробного рассмотрения физических процессов. Здесь используют ММ в виде дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), где независимыми переменными являются и время t, и пространственные координаты l1, l2, l3. Такие модели называют моделями микроуровня.

Аналитические ММ задают зависимости между параметрами ОП в виде функций типа

79

в отличие от алгоритмических ММ, где такая зависимость определяется не формулой, а последовательностью правил (алгоритмов), выполнение которых позволяет получить значения выходных характеристик по заданным значениям внутренних параметров.

Принято также проводить классификацию ММ по способу их получения.

Аналитические ММ могут быть получены на основе записи на языке математики основных физических законов (сохранения энергии) - теоретические ММ.

Если нельзя получить теоретическую ММ, то ММ ОП получают на основе анализа экспериментальных данных - экспериментальные модели (экспериментальностатистические).

Алгоритмические ММ получают:

1) если аналитическая ММ настолько сложна, то используется численный метод расчета по ММ, который реализуется в виде программы для ЭВМ;

2)если не ясен или слишком сложен принцип функционирования ОП, то используется специальный подход к ММ - имитационное моделирование.

3.6.. Задачи анализа полей в конструкциях РЭС

3.6.1. Постановка задачи

Проектирование качественных изделий радиоэлектроники требует исследования физических процессов различной природы, протекающих в конструкциях РЭС, включая анализ электрических, магнитных, тепловых полей, а также механических полей нагрузок и деформаций.

80

Например, среди задач, связанных с исследованием электромагнитного поля в конструкции, можно выделить задачи анализа полей в высоковольтных конструкциях передатчиков и индикаторных устройств на электронно-лучевых трубках (ЭЛТ) телевизоров и блоков питания, полей в конденсаторах или системе монтажных проводников печатных плат, образующих паразитные емкости. Задачи анализа тепловых полей в конструкциях РЭС формируются как задачи распределения температуры в толще корпуса конструкции с учетом наличия теплонагруженных элементов и температуры окружающей среды, а одной из основных проблем анализа механических полей является задача анализа механических колебаний при вибрационных нагрузках и механической прочности конструкции.

Математически задачи анализа полей в конструкциях РЭС формулируются в виде дифференциальной краевой задачи (ДКЗ) следующим образом.

Дифференциальное уравнение имеет вид

Lu = f , (3.1)

где L - дифференциальный оператор, u = u(X, t) - функция потенциала (неизвестная функция - решение ДКЗ, характеризующая исследуемое поле: например, в случае электростатического поля это разность потенциалов, для магнитного поля - векторный потенциал, для теплового поля - температура и т.п.), f = f(X, t) - заданная функция, характеризующая воздействие внешних факторов, X - набор параметров, характеризующих размерность ДКЗ или пространственные координаты (в одномерном случае X = x (стержень), в двумерном X = (x, y) (плоская конструкция), в трехмерном - X = (x, y, z) (объемная конструкция)), X ( - область определения ДКЗ, соответствующая конфигурации исследуемой конструкции), t - временной фактор, t t0, ), t0 - время начала моделирования.

81

Граничные условия задают на границе конструкции или ее отдельных участках:

где Г - граница области определения ДКЗ (Г = ), = (t) - заданная функция, характеризующая распределение поля на границе конструкции.

В начальный момент времени моделирования t0 задаются начальные условия

,

(3.3)

где = (Х) - заданная функция, характеризующая состояние поля в начальный момент времени t = t0.

Дифференциальная краевая задача (3.3) - (3.5) является нестационарной (то есть учитывает изменения параметров поля во времени). В стационарном случае (u u(t)) ДКЗ имеет вид

(3.4)

и не содержит начальных условий. Начальные и граничные условия ДКЗ принято называть краевыми условиями. Математические модели полей в конструкциях РЭС в виде ДКЗ получают с помощью наиболее общих физических законов, описывающих исследуемые процессы в конструкции РЭС (например, законов сохранения энергии - уравнения Максвелла, Фурье и т.п.). Таким образом, задачи анализа полей относятся к математическим моделям микроуровня, обеспечивающим

82

наиболее полное и точное описание реальных физических процессов в конструкциях РЭС [5].

Решить задачу анализа поля (3.4) значит найти функцию потенциала поля u, удовлетворяющую дифференциальному уравнению и краевым условиям. Аналитическое решение данной задачи представляет собой сложную проблему, прежде всего из-за конфигурации области определения (наличие разнообразных вырезов и отверстий ПП), а также в силу того, что граничные условия, как правило, задаются на отдельных участках границы или даже фрагментах внутренней области конструкции (например, для расчета теплового поля такие участки соответствуют местоположению теплонагруженных элементов). В таком случае даже при простейшем дифференциальном уравнении нахождение аналитического (в виде явной функциональной зависимости) решения ДКЗ не представляется возможным. Поэтому на практике используют

численные методы анализа полей в конструкциях РЭС - метод конечных разностей и метод конечных элементов.

3.6.2. Метод конечных разностей

Основная идея метода конечных разностей заключается в переходе от решения дифференциальной краевой задачи (2.6) (для упрощения расчетов ограничимся рассмотрением стационарной задачи) к решению системы линейных алгебраических уравнений. При этом решение u = u(X) находится только в отдельных точках конструкции (узлах разностной сетки), а не в любой точке X как в случае аналитического решения [6].

В методе конечных разностей используются приближенные формулы конечных разностей, позволяющие перейти от частных производных

83

к их разностным аналогам (данные формулы получают на основе разложения функции u(X) - решения ДКЗ в ряд Тейлора). В одномерном случае (u = u(x) ) используются следующие формулы конечных разностей.

Для производной первого порядка можно использовать одну из трех формул.

1. Формула левой производной

(3.5)

получила свое название из-за того, что использует значение функции u в точке x и в точке x-h, находящейся слева от нее.

2. Формула правой производной имеет вид

3. Формула центральной производной следующая

.

(3.7)

Для производной второго порядка используется единственная формула конечно-разностной аппроксимации

84

(3.8)

В формулах (3.6) - (3.8) используется знак " " - приблизительно равно, поэтому важно знать погрешность каждой такой аппроксимирующей замены. Для оценки ошибки каждой из формул (3.6) - (3.8) используем разложение функции u(x) в ряд Тейлора:

. (3.9)

Перенесем u(x) в левую часть уравнения (3.9) и разделим обе его части на h:

(3.10)

или

, (3.11)

где 0(h) - величина того же порядка, что и h, 0(h)=const h.

Таким образом, погрешность формулы правой производной равна 0(h). Такую же погрешность имеют формулы левой и центральной производных.

Формулу конечных разностей для производной второго порядка легко получить, используя формулы первых производных. Для этого введем вспомогательную функцию

85

.

Тогда

, (3.12)

, (3.13)

. (3.14)

Подставим выражения (3.14) и (3.13) в (3.12):

Таким образом, получена формула второй производной (3.11), погрешность данной формулы составляет 0(h2), то есть величину того же порядка, что и h2.

Аналогичным образом можно получить формулы конечноразностной аппроксимации для производных третьего, четвертого и более высоких порядков.

В двумерном случае (u = u(x, y) ) формулы конечных разностей записываются следующим образом. Формулы левой производной имеют вид:

86

(3.15)

Формулы вторых производных записывают аналогичнымобразом

Рассмотрим алгоритм метода конечных разностей решения ДКЗ

(3.4).

1.Исходя из требуемой точности выбираем шаг разбиения (шаг разностной сетки) h.

2.Строим в области определения ДКЗ разностную сетку (то есть покрываем конструкцию РЭС точками - узлами прямоугольной сетки) с выбранным шагом.

3.В каждом из граничных узлов сетки записываем граничные условия задачи (2.6), и если граничные условия содержат производные, то применяем к ним формулы конечных разностей.

4.В каждом из внутренних узлов разбиения записываем дифференциальное уравнение задачи (3.4) и заменяем производные по формулам конечных разностей.

5.Полученную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которой неизвестными являются значения функции u(x) в узлах сетки, решают на ЭВМ с применением методов решения СЛАУ (чаще всего благодаря специальному, трехдиагональному виду матрицы СЛАУ используют метод прогонки) [7].

3.6.3. Метод конечных элементов