Материал: Ответы ГОСы

В современном почвоведении для решения, как теоретических, так и практических вопросов широко используется множество математических моделей, которые значительно различаются

по используемым подходам и степени сложности. Прежде чем переходить к их обсуждению, познакомимся с необходимыми в дальнейшем основными понятиями.

Математическое моделирование, основные понятия.

Системный подход органически присущ почвоведению, так как лежит в его основах, заложенных работами В.В. Докучаева еще в конце 19 века.

Ключевым понятием системного подхода является понятие «система».

Система – целостная совокупность взаимосвязанных элементов, взаимодействующая с другими системами и являющаяся элементом в системе более высокого порядка. Например, почва, будучи системой, является элементом таких систем как биогеоценоз и геохимический ландшафт.

Элемент – неделимая единица анализа. Элементы системы, в свою очередь, являются системами более низкого уровня иерархии.

Внутренний состав системы – множество элементов, образующих систему, называется внутренним составом системы. Если элементы, образующие некоторую систему S, обозначить символами x1, x2,… xn, где n – число элементов, то состав системы S в символьной форме можно представить множеством X= {x1, x2…, xn}.

Окружающая среда системы – множество внешних систем S1,S2,…Sk,Sk+1,… с которыми взаимодействует изучаемая система.

Окружающая среда системы «индивидуальна» – она выделяется применительно к конкретной системе. Другая система – другая окружающая среда.

Структура системы – множество связей между элементами системы, а также элементов системы с внешней средой. Это множество можно обозначить:

Σ = {c1, c2,… cm}.

Окружающая среда системы, ее внутренний состав и структура могут изменяться во времени, что можно записать следующим образом:

X=X(t)={x1(t), x2(t)…,xn(t)};

E=E (t)={S1(t),S2(t),…Sk(t)};

Σ=Σ(t)={c1(t),c2(t),…cm(t)}.

В отличие от простого множества элементов, система обладает такими свойствами, как целостность и эмерджентность.

Целостность системы является результатом взаимосвязи ее элементов и проявляется в том, что при взаимодействии с окружающей средой она ведет себя как целое.

Эмерджентность системы – несводимость свойств системы к сумме свойств ее элементов. Эмерджентность, так же как и целостность, является результатом взаимодействия элементов системы. В качестве примера эмерджентных свойств почвы можно назвать плодородие.

Понятие модель используется чрезвычайно широко. Его недостатком является многозначность. В литературе можно найти различные определения этого понятия. Наиболее распространенное и самое простое из них:

Модель – это образ объекта, который воспроизводит интересующие исследователя свойства оригинала. Математические модели описывают изучаемый объект математическими терминами.

Возможные цели моделирования

Моделирование высвечивает пробелы в наших знаниях об исследуемой системе и следовательно модели могут играть важную роль в планировании новых наблюдений и экспериментов. Математические модели могут служить целям интеграции информации об изучаемой системе, так как позволяют связать в единое целое результаты отдельных локальных исследований, перевести их на единый математический язык и эффективно использовать при решении поставленной задачи. Очень часто модели строят с целью прогнозирования последствий тех или иных антропогенных воздействий на изучаемые системы.

1) Модели могут задумываться для синтеза знаний о системе в соответствии с изучаемой проблемой и их четкого представления;

2) Модели высвечивают пробелы в наших знаниях и поэтому полезны при построении ряда исследовательских приоритетов и планировании эксперимента;

3) Модели могут строиться с исследовательскими целями. Они позволяют глубже понять систему, обнаружить ее системные свойства, определить важность и роль процессов по отношению к решаемой проблеме;

4) модели полезный инструмент испытания гипотез, так как они позволяют моделировать реакции экосистем и сравнивать их с результатами экспериментов и наблюдений. (Проверяться гипотезы могут только на хорошо проверенных моделях);

5) прогнозирование - качественное и количественное;

6) выбор оптимального управления;

7) оценка рисков.

Сущность математического моделирования заключается в замене исходного объекта его «образом» – математической моделью – и дальнейшим изучением модели.

Анатомия математических моделей (переменные состояния, внешние переменные, контролирующие переменные, математические уравнения, параметры, универсальные константы)

Переменные состояния модели - Элементы множества (X) – являются индикаторами состояния системы (для почв и экосистем это могут быть, например, запасы и концентрации вещества, численность организмов).

Внешние переменные модели - характеристики внешних систем, образующих множество (Е), представляющее окружающую среду. Например, климатические характеристики.

Контролирующие переменные - Те из внешних переменных, которые человек может контролировать и таким образом управлять системой, например, доза удобрений, норма полива и др.

Математические уравнения- отношения между переменными состояния и внешними переменными.

Параметры моделей - коэффициенты уравнений.

Универсальные константы. Универсальные константы, такие, как газовая постоянная или атомный вес используются во многих моделях.

Вычислительный эксперимент и его достоинства.

Вычислительным экспериментом называется методология научных исследований, основанная на математическом моделировании и компьютерных технологиях. Мощность современных компьютеров позволяет проводить предварительные вычислительные эксперименты, способствующие эффективному осуществлению серьезных крупномасштабных экологических проектов.

Проведение вычислительного эксперимента можно условно разбить на три этапа: модель‐алгоритм‐программа (Самарский, Михайлов, 2001).

На первом этапе строится или подбирается модель, которая в математической форме описывает основные свойства изучаемой системы в соответствии с поставленными задачами. На этом этапе модель исследуется аналитически, что позволяет получить предварительные знания о качественном поведении системы.

Второй этап – выбор или разработка алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы не должны искажать основные свойства модели и быть экономичными.

Третий этап – создание программы, переводящей модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. Затем триада «модель‐алгоритм‐программа» отлаживается и тестируется. При этом возможно возвращение на предыдущие этапы для внесения необходимых поправок. После того, как достаточное соответствие (адекватность) триады изучаемой системе установлены, она превращается в гибкий инструмент исследования, позволяющий проводить вычислительные эксперименты по изучению свойств и поведения изучаемой системы.

Вычислительный эксперимент возможен там, где нельзя провести натурный эксперимент, например, из‐за слишком большой продолжительности, опасности, дороговизны, риска разрушить изучаемую систему. Вычислительный эксперимент позволяет относительно быстро и дешево исследовать свойства и поведение изучаемой системы в любых мыслимых ситуациях. Важно отметить, что вычислительный эксперимент приводит к успеху при выполнении определенных условий: четкой формулировки целей и задач исследования; адекватности используемых моделей; достаточного количества надежных экспериментальных данных для определения параметров модели и необходимой точности вычислительных алгоритмов.

Схема вычислительного эксперимента (по Самарскому и Михайлову, 2001).

Классификации математических моделей (исследовательские-прикладные; аналитические-алгоритмические; минимальные - имитационные; линейные - нелинейные; статические -динамические; точечные- пространственно-распределенные; детерминированные стохастические)

Широкое распространение моделирования и многообразие моделей потребовало их упорядочивания. В связи с этим было предложено множество классификаций моделей, в основе которых лежат различные признаки их разделения. Модели классифицируют по целям моделирования, способам реализации, используемому математическому аппарату и другим характеристикам. В качестве примера приведем наиболее известные в экологии и почвоведении классификации моделей. На рисунке ниже представлена схематическая классификация моделей, предложенная В.Д. Федоровым и Т.Г. Гильмановым (1980).

Она построена в форме дихотомий. По способу реализации модели разделяются на реальные и идеальные. Примером реальной модели может служить почвенная колонка. Проблемы использования реальных моделей связаны с определением степени их адекватности изучаемой системе и с техническими трудностями. Гораздо больше возможностей представляют идеальные модели, так как они не ограничены возможностями физической реализации. Идеальные модели бывают концептуальными и математическими. Концептуальная модель это концептуальная структура (система взглядов), в рамках которой мы анализируем факты.

Концептуальные модели выражают в словесной (вербальные) и (или) графической (например, в виде диаграмм) форме. Настоящий курс посвящен обсуждению только математических моделей. Математические модели подразделяются на два класса аналитические и алгоритмические (численные, имитационные).

Аналитические модели – результаты представлены в виде аналитических выражений (формул), отражающих функциональные зависимости результатов (выходов) от внешних переменных и внутренних характеристик моделируемого объекта. Аналитические модели представляют особый интерес, так как с меньшими вычислительными затратами позволяют изучать фундаментальные свойства изучаемого объекта, его качественное поведение (возможно без ЭВМ). К сожалению, аналитическое решение можно получить только для относительно простых моделей. В большинстве случаев приходится использовать алгоритмические подходы, позволяющие получить лишь приближенное численное решение.

Численные (алгоритмические) модели – результаты представлены в численном виде путем реализации алгоритма решения в виде компьютерной программы.

К классу алгоритмических моделей относятся имитационные (портретные) модели. В настоящее время эти модели широко используются при изучении сложных динамических систем. При построении имитационной модели, как правило, стараются максимально использовать имеющуюся информацию об изучаемой системе и в соответствии с задачами исследования представить все основные взаимодействия между ее компонентами в сочетании с внешними воздействиями. Это модели высокой степени подробности с большим числом переменных и параметров. Проведение вычислительных экспериментов на основе имитационной модели позволяет проигрывать различные сценарии поведения системы.

Аналитические и алгоритмические модели относятся к классу статических или динамических в зависимости от того описывают ли они поведение моделируемого объекта во времени. В статических моделях нет временного параметра. Среди параметров динамических моделей всегда есть временной параметр, они демонстрируют динамику поведения объекта.

По характеру описания динамики моделируемого объекта различают дискретные и непрерывные модели. В дискретных моделях значения переменных состояния определяются только для фиксированных моментов времени, а в непрерывных для всех моментов из рассматриваемого временного интервала.

По степени определенности предсказания модели подразделяют на детерминированные и стохастические (вероятностные).

В детерминированных моделях значения выходных переменных определяются однозначно с точностью до ошибок вычислений. В стохастических моделях определяются распределения вероятности возможных значений выходных переменных, характеризуемые такими показателями, как математическое ожидание, дисперсия и др.

По виду используемых функций модели бывают линейными и нелинейными.

В зависимости от того описывают ли модели изменения переменных состояния в пространстве, они относятся к классу пространственно – распределенных или точечных (локальных). Например, в точечных моделях динамики азота в почве в качестве переменных состояния можно взять усредненные по площади значения концентраций различных форм азота в гумусовом горизонте. В пространственно‐распределенных моделях переменные состояния зависят не только от времени, но от пространственных координат. Пространственно‐распределенные модели динамики азота в почве будут описывать изменения содержания различных форм азота не только во времени, но и с глубиной по профилю почвы, а в более сложном варианте по всем трем пространственным координатам.