Г.Ю. Ризниченко (2002) в соответствии с целями моделирования подразделяет математические модели в биологии на три больших класса: регрессионные, имитационные и качественные (базовые).

Первый класс – регрессионные модели, которые представляют результаты статистического анализа данных, полученных путем наблюдений или экспериментов, в виде эмпирических формул. Они не описывают механизмов изучаемых процессов и не раскрывают причинно‐следственные связи, что исключает возможность использования регрессионных моделей для условий, отличающихся от тех, при которых получены экспериментальные данные.

Второй класс – имитационные модели конкретных биосистем, максимально учитывающие имеющуюся информацию об объекте. Как правило, они построены по модульному принципу. Причем каждый модуль верифицируется до его включения в общую модель. Имитационные модели применяются для описания объектов различного уровня организации живой материи – от биомакромолекул до моделей биогеоценозов. Они легки для понимания, интерпретации и развития. После предварительной калибровки имитационная модель, построенная для одной системы, может применяться для других систем подобного типа. Недостатком этого класса моделей является большая информационная емкость и трудности калибровки из‐за большого числа параметров.

Третий класс – качественные (базовые) модели. Они представляют основную «минимальную» структуру изучаемых систем. Поэтому для этого класса моделей Н.Н. Моисеевым и Ю.М. Свирежевым (1979) было предложено название «минимальные модели». Базовые модели направлены на описание основных динамических свойств изучаемых систем. Качественное исследование базовых моделей позволяет понять суть явлений, происходящих в сложных системах. Заметим, что математическая формализация минимальной структуры, очевидно, не единственна, и поэтому для одной системы может быть построено несколько минимальных моделей. Почвы и биогеоценозы являются открытыми для потоков вещества и энергии нелинейными системами. Поэтому базовые (минимальные) модели математической экологии представлены нелинейными моделями. Эти достаточно простые, не отягощенные деталями модели позволяют изучать такие общие свойства почв и экосистем как множественность стационарных состояний, возможность перехода из одного состояния в другое, пространственная неоднородность и квазистохастичность. Примером минимальной модели в экологии может служить классическая модель экосистемы «хищник‐жертва», предложенная Вольтерра, который заложил фундаментальные основы теории биологических сообществ, построенной именно как математическая теория. В почвоведении в качестве примеров минимальных моделей можно назвать модель «идеального» подзола (Морозов, 2007) и нелинейные модели динамики органического вещества почв (Смагин и др., 2001; Рыжова, 2003).

Несмотря на развитие вычислительной техники, которая уже сегодня позволяет строить и исследовать сложные имитационные модели почв и экосистем, со временем интерес к базовым моделям будет только возрастать.

Йоргенсен (Jørgensen, 2008) в широком спектре современных экологических моделей выделил следующие одиннадцать типов.

1. Биогеохимические и биоэнергитические динамические модели

В основе этого типа моделей лежат законы сохранения вещества и энергии. Скорость изменения переменных состояния в этих моделях определяется как разность скоростей процессов прихода и расхода вещества и энергии. Биогеохимические и биоэнергетические динамические модели легки для понимания, интерпретации и дальнейшего развития. К их недостаткам относиться необходимость в большом объеме информации для их построения и проверки, а также трудности калибровки из‐за большого количества параметров.

2. Статические биогеохимические и биоэнергетические модели

Эти модели не описывают изменений системы во времени. Они используются для представления усредненной по времени ситуации. Могут служить первым шагом в направлении развития динамических моделей.

3. Модели динамики популяций

Тип моделей, описывающих изменение численности популяции во времени. Первые модели динамики популяций – это ряд Фибоначчи (1202), модель экспоненциального роста Мальтуса (1798). Появившиеся в первой трети двадцатого века классические модели взаимодействия видов В. Вольтерра послужили отправной точкой для множества современных моделей динамики популяций. В настоящее время популяционная динамика является одним из наиболее развитых разделов математической экологии.

4. Структурно‐динамические модели

Модели, описывающие адаптацию экосистем к изменению условий среды путем замены одних видов другими, которые больше соответствуют новым условиям.

5. Fuzzy модели (модели, основанные на нечеткой логике)

Понятие нечеткой логики было впервые введено Лотфи А. Заде (Zadeh, 1965). В его работах понятие множества было расширено допущением, что функция принадлежности элемента к множеству может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только 0 (полная непринадлежность) или 1 (полная принадлежность). Такие множества были названы нечеткими. Теория нечеткой логики – это раздел прикладной математики, посвященный методам анализа данных, характеризующихся высокой неопределенностью. Во многих случаях экологическая информация неполная и разнородная. Она включает как количественные, так и качественные данные, а также экспертные оценки с высокой степенью неопределенности. Поэтому нечеткие модели представляют большой интерес для решения экологических проблем. Возможности и примеры использования этого типа моделей в экологии активно обсуждаются в литературе (Salski, 1992; 1996).

Примером эффективного использования этого подхода в почвоведении является модель оценки качества почв по данным о микробной биомассе и энзиматической активности (Tscherko et al., 2007).

6. Искусственные нейронные сети

Для очень широкого круга экологических задач применяются методы, разработанные в теории искусственных нейронных сетей. Они могут использоваться для того, чтобы выявить скрытые закономерности в массивах гетерогенной информации и являются эффективным инструментом прогнозирования, когда основаны на достаточно больших базах данных, позволяющих установить и проверить на независимом материале отношения между входными и выходными переменными. Примером использования искусственных нейронных сетей в почвоведении может служить выделение в почвенных базах данных минимального набора показателей, влияющих на содержание органического углерода почве (Барцев и др., 2012). А также прогнозирование миграции загрязняющих веществ в почве на основе анализа данных, характеризующих физико‐химические свойства почв и условия окружающей среды (климатические, биологические и геоморфологические) (Коваленко, Кундас, 2009).

7. Индивидуально‐ориентированные модели

Индивидуально‐ориентированное моделирование или индивидуум‐ориентированное от англ. individual‐based modeling использует подход, в рамках которого основным объектом модели является индивид, представляющий собой уникальную, дискретную единицу, у которой есть некоторый набор характеристик, изменяющихся в течение жизненного цикла. Каждый из индивидов взаимодействует с другими индивидами. Модели этого типа строят «снизу вверх», начиная с элементов системы (индивидов).

Модельер определяет поведение только индивидов, а общее поведение системы является результатом совокупной деятельности многих индивидов, каждый из которых следует своим собственным правилам взаимодействия со средой и другими индивидами. Целью моделирования в этом случае является понимание того, каким образом интегральные свойства системы возникают из множества локальных взаимодействий между ее элементами (индивидуумами).

Индивидуально‐ориентированные модели, учитывающие положение индивидуумов в пространстве, называются пространственно‐распределенными. Они могут быть дискретными (пространство представлено в виде дискретной сетки, состоящей из клеток) и непрерывными. Пространственно‐распределенные модели, в которых индивидуумы могут менять положение в пространстве, называется пространственно‐мобильными индивидуально‐ориентированными моделями. Примеры индивидуально‐ориентированных экологических моделей приводится в монографии Г.С. Розенберга (2013).

8. Пространственные модели

Этот тип моделей представляет особый интерес для экологов и почвоведов, так как экосистемы и почвы являются пространственно‐распределенными системами. Результаты моделирования могут быть представлены в GIS. Недостатки пространственных моделей связаны с очень высокой информационной емкостью и трудностями их калибровки и проверки.

9. Стохастические модели

Стохастические модели учитывают вероятностный характер изучаемых явлений и имеют дело со случайными переменными и функциями.

10. Экотоксикологические модели

Эти модели рассматривают поведение и распределение токсических компонентов в экосистемах и ландшафтах.

11. Гибридные модели

Гибридные модели можно развивать, комбинируя разные типы из вышеперечисленного списка моделей.

Среди классификаций почвенных моделей наибольшую известность получила классификация, построенная с учетом иерархических уровней организации почв (Hoosbeek, Bryant, 1992). Авторы рассматривают следующие семь иерархических уровней (табл. ниже)

В качестве основного уровня выбран педон. Каждому уровню иерархии соответствуют свой спектр моделей от качественных до количественных и от эмпирических, которые не рассматривают причинно‐следственные связи, до теоретических, отражающих механизмы и законы (рис. I.1.4).

Классификация моделей (по Hoosbeek, Bryant, 1992).

История развития биогеохимических моделей

Уже в конце девятнадцатого века на самом раннем этапе развития почвоведения П.А. Костычевым (1889) были начаты исследования динамики органического вещества и предложено уравнение, описывающие минерализацию растительных остатков.

Позднее в 1937 году И.В. Тюриным было опубликовано уравнение для расчета предельного уровня накопления органического вещества в почве:

S = (1−a)A / x (4.1)

S – предельный уровень накопления гумуса в почве, а – коэффициент разложения поступающих в почву растительных остатков. А – количество поступающего в почву опада, х – коэффициент разложения гумуса.

За рубежом первые математические модели динамики органического вещества почв появились в конце тридцатых – начале сороковых годов двадцатого столетия (Nikiforov, 1936; Jenny, 1941; Henin, Dupuis, 1945).

Среди ранних моделей наибольшую известность получила экспоненциальная модель Иенни (Jenny, 1941; 1949), в которой для описания динамики органического углерода или азота в почве использовано уравнение вида:

(4.2)

где X – содержание органического С или N в почве; А – ежегодное поступление органического C или N; k – коэффициент минерализации (доля органического C или N, минерализующаяся за год).

Решение этого дифференциального уравнения характеризует изменения содержания органического углерода или азота в почве со временем:

(4.3)

где X0 – содержание органического С или N в почве в начальный момент времени;

Xe – содержание органического углерода или азота в почве в стационарном состоянии.

В модели Хенина и Дюпуи (цит. по Molina and Smith, 1998), предполагается, что определенная доля поступивших в почву растительных остатков гумифицируется:

(4.4)

где y – содержание органического вещества в почве; w – количество поступающих в почву растительных остатков; k1 – константа скорости гумификации (доля растительных остатков, трансформирующаяся в гумус), названная в этой работе изогумусовым коэффициентом); k2 – константа скорости минерализации органического вещества почвы.

Первая глобальная модель биогеохимических циклов тоже была построена в первой половине прошлого века. Автором этой биосферной модели был В.А. Костицын, который в 20‐х годах тесно сотрудничал с В.И. Вернадским и является его учеником и последователем. В.А. Костицын один из первых математиков, понявших место и значение математических моделей в изучении биосферных процессов. В 1935 году в Париже он опубликовал книгу «Эволюция атмосферы», в которой представил математические модели, рассматривающие круговорот углерода, кислорода и азота. В России она была опубликована только с полувековым опозданием в 1984 году под названием «Эволюция атмосферы, биосферы и климата» с замечательным послесловием академика Н.Н. Моисеева, в котором обсуждается значение этой работы.

Исторический тренд развития биогеохимических моделей характеризует рис.

Количество моделей начинает быстро расти, начиная с 70‐х годов, что связано с работами по Международной биологической программе и программе «Человек и биосфера», а также с увеличением доступности ЭВМ и широким распространением методов имитационного моделирования.

Материалы, полученные в результате исследований по международной биологической программе (МБП) (1964‐1974) были представлены в форме концептуально‐балансовых моделей, характеризующих круговорот биофильных элементов в различных типах экосистемах.

Основы методологии построения таких моделей заложены в работах Г. Одума (1961), Дж. Форрестера (1961), А.А. Ляпунова (1970), А.А. Ляпунова и А.А. Титляновой (1971).

При построении концептуально‐балансовых моделей экосистема разбивается на блоки (компоненты или компартменты), содержащие определенные запасы вещества и обменивающиеся им между собой и окружающей средой. На основе экспериментальных данных определяются запасы вещества в выделенных блоках, скорости обмена между ними, а также скорости входных и выходных потоков. Модель представляют в виде потоковой диаграммы с указанием запасов и скоростей потоков.

Такие модели оказываются полезными при планировании дальнейших исследований, потому что при их построении, как правило, выявляют недостаточно изученные звенья круговорота вещества в экосистемах. Они используются для описания квазистационарных состояний экосистем, либо усредненных по времени ситуаций, а также для характеристики биологического круговорота в экосистеме в конкрентные последовательные моменты времени в целях мониторинга.

Недостатком этого класса моделей является их статический характер. Их можно рассматривать как этап обобщения исходной экологической информации при построении динамических биогеохимических моделей, для построения которых необходимо иметь четкое представление об основных взаимодействиях компонентов экосистемы (Базилевич, Гильманов, 1985).

Более эффективным инструментом изучения функционирования, почв экосистем и биосферы в целом являются динамические модели биогеохимических циклов.

70‐е годы прошлого века характеризуются их активным развитием в рамках имитационных моделей различных типов экосистем. Ярким примером является широко известная созданная в США модель степной экосистемы ELM (Ecosystem Level Model). Эта очень детальная модель, в структуру которой входят следующие блоки: абиотический, динамики продуцентов и консументов, динамики саранчи, разложения органического вещества и динамики азота и фосфора. Каждый блок ELM представляет собой самостоятельную имитационную модель.

Одним из наиболее важных блоков является блок трансформации органического вещества. Поступающие на поверхность и в почву органические остатки в зависимости от исходного содержания азота разделены на быстро и медленно разлагающиеся фракции. Деструкторы представлены активной и пассивной формами. В этой подмодели учитывается локализация органическое вещества на поверхности или в трех слоях почвы на глубине 0‐4, 4‐15 и 15‐60 см. Это сделано для того, чтобы учесть изменения значений наиболее важных упрвляющих параметров влажности и температуры в зависимости от локализации (Hunt, 1977). Подмодели азота и фосфора подробно описаны в работах Reuss and Innis (1977), and Cole et al. (1976).

Значительное влияние на развитие динамических моделей биогеохимических циклов в нашей стране оказали работы Т.Г. Гильманова (1974; 1975). Особенно изданная в 1978 году его монография: «Математическое моделирование биогеохимических циклов в травяных экосистемах». В этой работе обсуждается постановка задачи математического моделирования биогеохимических циклов в экосистемах на основе системного подхода, а также подробно описывается построение конкретной математической модели взаимосвязанных циклов воды и углерода в травяной экосистеме.

В конце 70‐х и начале 80‐х годов появились первые версии Ротамстедской модели (Jenkinson and Rayner, 1977) и модели CENTURY (Parton et al., 1983; 1988), описывающих динамику органического вещества почв и позволяющие прогнозировать их реакцию на глобальные изменения климата, хозяйственные воздействия и смену характера землепользования. Они получили очень широкую известность, непрерывно развиваются и в настоящее время активно используются при решении различных экологических задач.

Развитие моделей динамики органического вещества почв в конце ХХ века отражают несколько обстоятельных обзоров (Jenkinson, 1990; McGill, 1996; Molina and Smith, 1998; Falloon and Smith, 2000a; Van Keulen, 2001), а также сеть (SOMNET), созданная в рамках международной Геосферно‐биосферной программы (IGBP) по проекту Global Change and Terrestrial Ecosystems (GCTE).

Она содержит информацию о 30 моделях, описывающих превращения органического вещества почв (Smith et al., 1996; 1997; online at http://yacorba.res.bbsrc.ac.uk/cgi‐bin/somnet). Характеристике современного уровня развития биогеохимических моделей и обсуждению нерешенных проблем моделирования динамики органического вещества посвящены вышедшие в последнее время обзоры (Shibu et al., 2006; Manzoni, Porporato, 2009; Рыжова, 2011; Чертов, Комаров, 2013). В настоящее время известно уже около 250 моделей (Manzoni, Porporato, 2009), значительно различающихся по используемым подходам и уровню сложности.

Биогеохимические процессы экстремально разнообразны. Их скорости различаются в десятки раз, а пространственный диапазон изменяется от молекул до континентов. Особенности моделей во многом определяются пространственно‐временным масштабом описываемых процессов. В соответствии с пространственно‐временным масштабом Манзони и Порпорато (Manzoni, Porporato, 2009) выделили следующие классы моделей:

• М – модели, описывающие мало‐масштабные процессы (микробиологические, ризосферные и агрегатные);

• L – модели разложения опада;

• S – модели динамики органического вещества почв;

• Е – экосистемные модели, описывающие динамику углерода и азота в системе почва‐растительность;

• G – глобальные модели.