Материал: Панков Пособие по АСП

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования

Московский технический университет связи и информатики

К.Н. Панков

АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Учебное пособие

для обучающихся в бакалавриате по направлении. 11.03.02 - Инфокоммуникационные технологии и системы связи

Москва 2021

Панков К.Н. Анализ случайных процессов. Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2021. - 77 с.

В данном учебном пособии рассмотрены основные понятия, теоремы и методы теории случайных процессов и их применение. Дана классификация случайных процессов, теория цепей Маркова с непрерывным и дискретным временем. Значительную часть курса занимает изложение теории систем массового обслуживания (СМО). Приведена классификация СМО, рассмотрены показатели качества обслуживания и эффективности работы СМО, разобраны примеры анализа работы различных СМО. Теоретический материал изложен с многочисленными примерами.

Учебное пособие ориентировано на обучающихся в бакалавриате по направлению подготовки 11.03.02 - Инфокоммуникационные технологии и системы связи.

Ил. __, табл. __, список лит.__ назв.

Издание утверждено Методическим советом университета в качестве учебного пособия. Протокол No __от __.__.____г.

Рецензенты:

© Московский технический университет связи и информатики, 2021

2

Введение

Теория случайных процессов – бурно развивающаяся область теории вероятностей, изучающая изменение во времени состояния стохастической системы. Случайные процессы находят широчайшее применение в таких областях науки и техники, как автоматизированные системы управления, автоматизация технологических процессов и производств, радио- и электротехника, кибернетика, биология, химия, экономика, транспорт, связь и т.п. Программы все большего числа специальностей и направлений подготовки инженеров включают курс случайных процессов. Для успешного освоения дисциплины необходимы базовые знания курсов «Высшая математика» и «Теория вероятностей и математическая статистика», а также некоторые элементы курсов «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ». Данное издание предназначено для методического обеспечения направления подготовки 11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи, но также может быть использовано студентами других специальностей, предусматривающих изложение данного предмета

3

Тема № 1 Элементы теории множеств, комбинаторики и теории меры

Тема № 1 Основные понятия. Стационарные процессы

Рассмотрим произвольное вероятностное пространство ,A, . Вспомним

определение из курса теории вероятностей, призванное формально определить величины, подлежащие «измерению» в случайных экспериментах.

Определение. Случайной величиной называется функция w : ,

заданная на пространстве элементарных событий , принимающая значения в

и удовлетворяющая условию, что для любого вещественного х множество

w : w x является событием, т.е. w : w x A.

Часто при исследовании различных явлений в области телекоммуникаций приходится иметь дело со случайными величинами, изменяющимися во времени.

Основным понятием теории случайных процессов является следующее.

Определение. Случайным процессом (или случайной функцией) t ,t T

называется семейство случайных величин t , зависящих от параметра t, пробегающего некоторое множество значений T . Таким образом, любому фиксированному t0 однозначно ставится в соответствие случайная величина t0 ,

называемая сечением случайного процесса. При этом считается, что все случайные величины t , которые образуют это семейство, заданы на одном

вероятностном пространстве ,A,P .

Обычно параметр t играет роль времени (так сложилось исторически, из практических потребностей прикладных наук). В пособиях по теории случайных процессов, связанных с их инженерными приложениями, вместоt ,t T или просто t часто используется обозначение X(t).

Определение. Реализацией, выборочной функцией или траекторией

.

На практике считается, что в результате некоторого эксперимента происходит элементарное событие 0 и наблюдается значение t t в

точке 0 . Поэтому траектория случайного процесса зависит от наблюдений при эксперименте. Иначе говоря, реализацией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция x(t), в которую превращается случайный процесс X(t) в результате опыта; другими словами, конкретный вид, принятый случайным процессом X(t), который наблюдался на каком-то отрезке времени от 0 до τ.

4

полной и исчерпывающей характеристикой случайной величины t . Эта

процесса t ,t T .

Пример. Пусть T . По определению зададим t t t0 b, где t0,b

- некоторые фиксированные числа, - некоторая случайная величина, заданная на некотором вероятностном пространстве ,A,P , не зависящая от

Тангенс угла наклона этой линии равен значению 0 . Так как случайная величина может принимать разные значения то все реализации (траектории) случайного процесса t будут принадлежать пучку прямых на плоскости. Каждая прямая этого пучка проходит через точку плоскости с координатамиt0,b . Эта точка в аналитической геометрии носит название центра пучка прямых на плоскости.

5