Документ: Панков Пособие по АСП, страницы 11-15

Материал: Панков Пособие по АСП

Смотрите также:

Мы получили, что K(s,t) зависит			только от разности s t . Теперь
воспользуемся независимостью случайных величин 1						и 2 :
D t D 1 cos wt 2 sin wt D 1 cos wt D 2 sin wt
cos2 wt D 1 sin2 wt D 2 2 cos2 wt sin2 wt 2 ,
т.е. дисперсия случайного процесса D(t)			не зависит от t.
Отсюда получаем					E t t
R s,t R


					D t D t
	2	cos w		cos w .


		2 2
Итак, если случайные величины 1			и 2 – независимые с одинаковыми

математическими ожиданиями, равными 0, и одинаковыми ненулевыми дисперсиями 2 , то t,t - стационарный в широком смысле случайном процесс с корреляционной функцией R cos w .

Ясно, что корреляционная функция R непрерывна на ,			поэтому по
теореме Бохнера – Хинчина существует случайная величина			с функцией
распределения F x F x , и F(x)	- нормитрованная спектральная функция
случайного процесса t,t .
Очевидно, что – дискретная		случайная величина	с таблицей
распределения	w	w
	w	w

	1/2	1/2

Докажите это самостоятельно.

Для данной случайной величины не существует плотности. Следовательно, наш процесс не обладает нормированной спектральной плотностью.

Случайный процесс t,t представляет собой гармоническое колебание

распределения которых не зависят от времени t.

Линейные преобразования случайных процессов, дифференцирование и интегрирование случайных процессов

Определение. Назовем оператором отображение, ставящее в соответствие одной функции другую функцию. Примеры оператора являются:

Оператор дифференцирования

y dy A dx

11

Например:sinх cosх,х2 2х

A A

Оператор интегрирования

х

y ydx

A 0

Например: x2	хy2dy x3	3
A	0	3

Определение. Оператор A называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства и любого λ из произвольного числового поля (к примеру, поля вещественных чисел) выполняются соотношения

1.A(x1+x2)=Ax1+Ax2.

2.A(λx)=λAx.

Определение. Производная случайного процесса определяется как предел lim X t t X t X ' t dX

t 0

t

dt

Так как X(t) случайный процесс, то предел нужно понимать в вероятностном смысле: это может быть, к примеру, сходимость с вероятностью единица либо сходимость в среднем порядка 2 (в среднем квадратическом).

Рассмотрим случайный процесс X(t) с математическим ожиданием mX(t) и автоковариационной функцией KX(t1,t2). Обозначим производную случайного процесса X(t) как Y(t) :

Y t dX X ' t dt

Требуется найти математическое ожидание и автоковариационную функцию производной случайного процесса, т.е. mY(t) и KY(t1,t2).

Найдем математическое ожидание левой и правой частей равенства из определения производной случайного процесса, предполагая, что соответствующие переходы возможны:

m	t EY t lim	E X t t E X t	m'	X	t	dmX t

Y	t 0	t				dt

Следовательно, можно сделать вывод, что математическое ожидание производной от случайного процесса равно производной от его математического ожидания. Т.е. операцию дифференцирования можно менять местами с нахождением математического ожидания случайного процесса.

Для определения KY(t1,t2) перейдем к центрированным случайным функциям


Y t Y t mY t и	X t X t mX t , т.е. отнимем от рассматриваемых

случайных величин их математические ожидания. Тогда получим:

d X t Y t .

dt

По определению автокорреляционной функции:

KY t1,t2 E Y t1 Y t2 .

12

Подставим вместо Y t1 и Y t2 их выражения:

KY t1,t2 E d X t1 d X t2 .

1 dt2dt

Можно представить выражение под знаком математического ожидания в виде второй смешанной частной производной:

d X t1 d X t2 2 X t1 X t2 .

dt1

dt2

t1 t2

Аналогично тому как выше показано, что математическое ожидание производной случайной функции равно производной от математического ожидания, т. е. знаки дифференцирования и математического ожидания можно менять местами, можно показать, что

						2			t							2
						2		X	t		X t			2		2
K	Y	t ,t	2	E						1				2
K		t ,t		E
		1							t t			2				t t	2
										1		2			1		2

Таким образом,
K		t ,t			2			K		t ,t
K		t ,t			t t			K		t ,t
	Y	1	2		t t		2		X		1		2
					1		2

2

E

X t

K

t ,t

.

X

2

1

2

t1 t

1

2

Отсюда можно сделать вывод о том, что для того, чтобы найти автокорреляционную (корреляционную) функцию производной, нужно дважды продифференцировать автокорреляционную (корреляционную) функцию исходного случайного процесса: сначала по одному аргументу, затем - по другому.

В итоге получаем, что для нахождения математического ожидания преобразованного случайного процесса тот же линейный оператор применяется

кматематическому ожиданию исходного случайного процесса; для нахождения автоковариационной функции тот же линейный оператор применяется дважды

кавтоковариационной функции исходного случайного процесса.

Аналогично можно показать, что математическое ожидание интеграла от случайного процесса равно интегралу от ее математического ожидания. Т.е. операцию интегрирования можно менять местами с нахождением математического ожидания случайного процесса.

А для того, чтобы найти автоковариационную функцию интеграла от случайного процесса, нужно взять двойной интеграл от автоковариационной функции исходного случайного процесса.

Примеры. 1. Уровень радиоактивности зависит от типа изотопа и количества вещества:

X t Ae αt ,

где α – const, случайная величина A - распределена по нормальному закону

N a, 2 . Найдем математическое ожидание, автокорреляционную функцию,

13

дисперсию и нормированную автоковариационную функцию производной случайного процесса.

Легко можно найти, что:

E X t ae t Kx t1,t2 2e t1 t2

Rx t1,t2 1

Найдем математическое ожидание производной случайного процесса, используя выведенную выше формулу

EX t ae t ' a e t

Найдем автоковариационную функцию производной случайного процесса по выведенной выше формуле:

				2Kx t ,t				2						2			t t	2
						1		2						2			1	2
	t ,t													e
Kx	t ,t				t t						t t			e
	1		2		t t		2				t t		2
					1		2					1	2
				2	e				t1	t2			2 2		e	t1 t2

		t2
		t2

Для нахождения дисперсии случайного процесса x t подставим t1 t2 t в

выражение для автоковариационной функции. Получим

2 x t 2 2e 2 t

Нормированная автоковариационная функция равна:

R	, t ,t			Kx t1,t2	2 2e t1 t2	1
					e t1 e t2
x	1	2	t1 t2

Можно провести проверку. К примеру, непосредственное нахождение характеристик случайного процесса после нахождения производной исходного случайного процесса:

X t A e t

EX t E A e t e t E A ae t

2.Пусть случайный процесс представляет собой гармоничное колебание со случайной начальной фазой

X t Acos wt

где A=const, w=const, – случайная величина, которая равномерно распределена на интервале 0,2

Легко можно найти, что

EX t 0

KX t1,t2 A2 cos t1 t2

2

Найдём математическое ожидание производной случайного процесса

E X t E X t ' 0 ' 0

Найдем автоковариационную функцию производной случайного процесса

14


	2Kx t1t2			A2	sin t1 t2		A2	2 cos t1 t2
				2 t			2
	t t		2
1				1
Дисперсия x' t		при t1		t2	равна D X t	A2 2

В этом примере X t					2
				и X t стационарные			в широком смысле процессы,

так как у этих случайных процессов математические ожидания - константы, а автоковариационные функции являются функциями от t2 t1

В общем случае производная стационарного случайного процесса также стационарный случайный процесс, у которого

E X ' t 0

Автокорреляционная функция стационарного случайного процесса находится по формуле:

K		2K
	X '	2

3. В условиях примера о радиоактивности найдем математическое ожидание, дисперсию и автоковариационную функцию случайного процесса Y t ,

равного

t

Y t X z dz

0

Легко видеть, что.

						EY t				t						a						t		a			1 e
										a e	t	dt							t										t
											t								t										t
																		e				0
																		e

										0
				t1 t2	2 z			z					2				z			t1			z			t2		2			t		t
				t1 t2	2 z			z					2				z			t1			z			t2		2			t		t
K	Y	1	2				e			1	2				e					0	e					0				e
	Y	1	2							1	2			2						0						0			2
		t ,t		e		1			2	dz dz							1								2			a			1	1 e		2	1
						1			2								1								2						1			2
				0 0

Для получения дисперсии заменим t t1 t2 :

DY t 2 e t 1 2

2

4. Найдем математическое ожидание, дисперсию и автоковариационную функцию случайного процесса Y t , который равен интегралу от случайного

процесса из примера о гармоническом колебании. Математическое ожидание равно^

t

EY t 0dz 0

0

Автоковариационная функция равна:

K		t ,t		t1	t2 A2	cos z		z	dz dz	A2	t1	1	sin z		z	sin z	dz

				0	0 2
	y	1	2				2	1	1 2	2 0				2	1	1		1

15

и случайной фазой arctg

со случайной амплитудой

со случайной амплитудой