Документ: Панков Пособие по АСП, страницы 6-10

Случайный процесс t в данном примере носит называние веерного случайного процесса.

Является ли одномерный закон распределения полной и исчерпывающей характеристикой случайного процесса? Очевидно, нет. Эта функция характеризует только свойства одного отдельно взятого сечения случайного процесса, но не дает понятия о совместном распределении двух (или более) сечений процесса. Иначе говоря, зная поведение случайного процесса в момент времени t, мы не можем предсказать поведение значений t в другие моменты времени. Для описания этих зависимостей необходимо рассмотреть функцию

распределения случайного вектора t1 ,..., tn , координаты которого равны значениям процесса в моменты времени t1,...,tn .

Обозначим

Ft1,...,tn (x1,...,xn) F t1 ,..., tn (x1,...,xn) F (x1,...,xn ) P t1 x1,..., tn xn .

Определение. Семейство функций

Ft1,...,tn (x1,...,xn), n , t1,...,tn Tn,ti tj

называется семейством конечномерных распределений случайного процесса

t ,t T .

Это семейство удовлетворяет условиям согласованности:

i1,...,in -

1.

Пусть

перестановка

элементов

из

1,n,

тогда

Fti

,...,ti xi1

,...,xin Ft1,...,tn x1,...,xn .

1

n

2.

lim Ft ,...,t

n 1

,t

(x1,...,xn 1,xn) Ft

,...,t (x1,...,xn 1).

x

1

n

1

n 1

n

Введем еще одно полезное

t ,t T и t ,t T ,

Определение.

Случайные

процессы

заданные на

одном вероятностном пространстве ,A,P и одинаковом множестве T ,

называются стохастически эквивалентными, если t T

P t t 1.

Определим некоторые характеристики случайного процесса { t,t T}:

1. Пусть

m t E t

для

всех t T ,

если это

математическое ожидание

определено

и

конечно,

тогда функция

m t :T

называется

математическим ожиданием случайного процесса.

6

2. Пусть D t D t =E t m t 2 для всех t T , если дисперсия определена и конечна, тогда D t :T - дисперсия случайного процесса.

Наряду с дисперсией в инженерных приложениях теории случайных процессов часто рассматривается функция среднеквадратичного отклонения

t D t :T .

3. Пусть m t , m s , тогда K s,t E s m s t m t -

ковариационная функция случайного процесса. Синонимами понятия ковариационная функция в технической литературе являются автоковариационная и автокорреляционная функции. Согласно мнению ряда ученых наиболее удачным названием является «автоковариационная функция», подчеркивающее, что речь идет о ковариации двух сечений одного и того же процесса (от латинского autos – сам, направленный на самого себя).

Докажите следующие свойства K s,t :

а) K s,t 2 D s D t ,

б) K t,t D t ,

в) K s,t K t,s .

4. R s,t	K s,t	- корреляционная (нормированная корреляционная,

	D s D t
	D s D t

нормированная автоковариационная, нормированная автокорреляционная) функция случайного процесса.

Докажите следующие свойства R(s,t):

а) R s,t 1,

б) R t,t 1,

в) R s,t R t,s .

Пример.	Рассматривается случайная	функция X(t) Ut2 2, где	U –
случайная	величина, распределенная по	нормальному закону N(2; 4).	Нам

требуется найти функцию распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсиюDX (t), среднеквадратичное отклонение X (t) и корреляционную функцию K X (t1,t2).

Согласно определению функции распределения случайной величины

FX (t) x P X(t) x P Ut2 2 x

		x 2				x 2
P U				,t 0	FU				,t 0
P U		t	2	,t 0	FU		t	2	,t 0
		t					t
	0,x 2,t 0					0,x 2,t 0
	0,x 2,t 0					0,x 2,t 0

	1,x 2,t 0					1,x 2,t 0
	1,x 2,t 0					1,x 2,t 0

.

7

Далее рассмотрим случай, когда t 0. Так как U N(2; 4),то

y

x 2

z 2 2

x 2

t2

1

FU y pU z dz

FU

e

8 dz

t

2

8

По определению

mX (t) E X t E Ut2 2 t2 EU 2,

DX (t) DX t D Ut2 2 t4 DU ,

X (t) DX t t2 DU ,

K X t1,t2 E X t1 mX t1 X t2 mX t2

E Ut12 2 t12 EU 2 Ut22 2 t22 EU 2 t12t22 DU .

Параметры нормального распределения являются его основными числовыми характеристиками (EU 2,DU 4). Следовательно,

mX (t) 2t2 2, DX (t) 4t4 ,X (t) 2t2 ,

K X t1,t2 4t12t22 .

Классификация случайных процессов

Основными признаками, по которым можно провести классификацию

случайных процессов, являются:
1). Пространство состояний E,	которому	принадлежат все		возможные
значения, принимаемые всеми случайными величинами t			по всем t T :
E Et
E Et	t	( ) .
t T	t T
Назовем множество E фазовым пространством.
Если E , то E – фазовое пространство целочисленного				случайного

процесса.

Если E – это некоторый непрерывный промежуток из , то E – фазовое пространство действительного случайного процесса.

2). Временной параметр T .

Определение. Если t T , то говорят, что процесс t ,t T является

процессом с дискретным временем. Если параметр t принимает все значения из некоторого непрерывного промежутка на числовой прямой, то говорят, что процесс t ,t T - случайный процесс с непрерывным временем.

3). Отношение зависимости между случайными величинами t .
Определение.	Рассмотрим	случайный	процесс t ,t T , где	T . Для
всех n для	любых t1 t2	... tn T	рассмотрим случайные величины

t2 t1 ,..., tn tn 1 .

8

Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями,

если величины t2 t1 ,..., tn tn 1 независимы в совокупности.

Случайный процесс называется процессом с некоррелированным

приращением, если величины t	2	t	,..., t	t	–	некоррелированные
	2	1	n	n 1

случайные величины.

Случайный процесс называется процессом с ортогональным приращением,

если t	2	t	,..., t	t	некоррелированы, и m t 0	для всех t T .
	2	1	n	n 1

Случайный процесс называется марковским, если при всех n для любых

t1 t2 ... tn tn 1 T ,	для	любых x1,...,xn,xn 1 E,	где	E –	фазовое
пространство случайного процесса t ,t T , выполняется
P tn 1 xn 1 \| tn	xn, tn 1 xn 1,..., t1 x1 P tn 1		xn 1	\| tn xn .
Определение. Функция		P t,x,s,y P s y\| t x	называется		функцией

переходных вероятностей марковского процесса.

Данная функция играет важную роль при изучении подобных процессов.

Стационарные процессы

Рассмотрим случайный процесс t ,t T .

Определение. Случайный процесс называется стационарным в узком

смысле,		если при всех n для любых			t1 t2 ... tn T для всех h таких,
что t1 h, … , tn h T , совпадают конечномерные распределения
Ft ,...,t	n	(x1,...,xn) Ft h,...,t		h(x1,...,xn).
1		1	n

Определение. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если:

1)	существует a такое, что	m t a для всех t T ,
2)	существует b такое, что	D t b для всех t T ,
3)	для любых s,t T , для всех	h таких, что t h,s h T , выполняется

K s,t K s h,t h , т.е. K s,t зависит только от разности t и s.

Проверьте, всегда ли из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.

Для стационарного в широком смысле процесса корреляционная функция R s,t зависит только от разности t s и может быть обозначена

R s,t R t s R . Это верно и для ковариационной функции

K s,t K t s K

Важную роль при изучении стационарных в широком смысле случайных процессов играет следующая

Теорема (Бохнера-Хинчина – без доказательства). Пусть t ,t T -

стационарный в широком смысле случайный процесс, корреляционная функция которого R непрерывна. Тогда существует случайная величина с

9

функцией распределения F x F x , характеристическая функция которой равна R , т.е. R .

По теореме единственности такая функция F x определяется однозначно.

Эту функцию	распределения			F x	называют нормированной спектральной
функцией процесса t ,t T .							F x
Определение.		Если	спектральная			функция		представима		в	виде:
x
F x p s ds		, где	p s p s		-	плотность	случайной		величины		из
				то функцию p x
теоремы Бохнера-Хинчина,							называют		нормированной
спектральной плотностью процесса t ,t T .
Теорема.	Пусть t,t T				–	стационарный		в широком		смысле

случайный процесс с нормированной спектральной плотностью p(x)							и конечен
	R
интеграл		d , тогда
интеграл		d , тогда

				1
			p(x)	1	e ix R d .
			p(x)	2	e ix R d .
				2		t 1 cos wt 2 sin wt , где
Пример.	Рассмотрим		случайный процесс			t 1 cos wt 2 sin wt , где
w - константа; 1			и 2 - случайные			величины, заданные	на одном
вероятностном пространстве и не зависящие от t, t .

Ответим на вопрос, когда данный случайный процесс является стационарным в широком смысле и найдем корреляционную функцию R(s,t).

m(t) E 1 cos(wt) E 2 sin(wt), т.е. для того, чтобы m(t) не зависело от t, необходимо, чтобы E 1 E 2 0.

Пусть s t . Тогда

K s,t E t s E 12 cos wt cos ws 22 sin wt sin ws

1 2 cos wt sin ws 1 2 sin wt cos ws E 12 cos wt cos ws

E 22 sin wt sin ws E 1 2 sin t s w .

Функция K s,t	не будет зависеть от t, если E								2	E 2		2	и E	2	0.
							1			2			1	2
Из того, что E	E	2	0		следует, что D D				2	2 . Так как
1		2					1		2
	,					E 1	E 1 2 E 2				E	0,
											1 2

	1			2				D 1 D 2			2

то, следовательно, случайные величины 1 и 2 не коррелированны. Более того, мы будем считать, что они независимы.

Следовательно,

K(s,t) 2 cos wt cos ws sin wt sin ws 2 cos w t s 2 cos w .

10

Материал: Панков Пособие по АСП

Смотрите также: