Материал: Полярная система координат. Параметрически заданные кривые. Приложения определенного интеграла. Каверина В.К., Некрасова Н.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пример 2.4. Кривая задана параметрическими уравнениями

x a sec t,	t ,
	t ,
y b tgt.

Найти уравнение линии в декартовых координатах.

Решение. По условию

	a
x a sect		,
x a sect		,
	cost

y b tgt.

Выразим из последнего равенства параметр: cost ax , tgt by или

tgt

1 cos2 t

;

x2 a2

cost

Возводя обе части последнего равенства в квадрат, получим

x2 a2

или

1 .

Окончательно имеем

– это каноническое уравнение гиперболы с центром в

начале координат (рис. 2.4).

-a

0		x
		X
	-b

Рис. 2.4. Гипербола симметричная относительно начала координат

Итак, кривая

координат.

x a sec t,		x2		y2
	– это гипербола					1 с центром симметрии в начале
	– это гипербола		2		2	1 с центром симметрии в начале
y b tgt,		a		b

Пример 2.5. Какая линия определяется параметрическими уравнениями

x t 2 ,

y t 2 ?


	Решение. Исключим параметр t: t2 x , t2		y , следовательно y x , это уравнение пря-
мой,	проходящей через начало координат.		Но в силу параметрических уравнений
x t2	0,	y t2 0 . Следовательно, данные параметрические уравнения определяют луч, на-

правленный по биссектрисе I координатного угла (рис. 2.5).

yY
0	x
0	X

Рис. 2.5. Графическое изображение к примеру 2.5

Пример 2.6. Какая линия определяется уравнениями

x sin t,

y cosect ?

Решение. Так как y

, то, исключив t,

получим уравнение y

, выражающее об-

sin t

1 и

ратно

пропорциональную

зависимость

величин

x и у.

В силу ограничений

sin t

cos ect

1 заключаем,

что

линия, заданная

параметрическими уравнениями

sin t

x sin t,

y cos ect , имеет вид, изображенный на рис. 2.6.

-1	1
		0





		1	x
		-1	X
			X

Рис. 2.6. Графическое изображение кривой к примеру 2.6

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

2.1. Какая линия определяется параметрическими уравнениями

x cos t,

x 2t,

x cos2 t,

x sin t,

x 5t,

x sin2 t,

а)

г)

y cos2

б)

y 4t;

в)

y sin2 t;

д)

y 7t;

е)

y cos2 t.

2.2. Написать параметрические уравнения окружности с центром в начале координат и радиусом 5.

2.3. Написать параметрическое уравнение эллипса с полуосями a = 7, b = 3 (центр эллипса находится в точке (0,0)).

2.4. Написать параметрическое уравнение гиперболы с полуосями a = 3, b = 7 (центр симметрии находится в точке (0,0)).

2.5. Написать параметрическое уравнение параболы с вершиной в точке (0,0) и ориентированной вдоль положительных значений оси OY.

2.2. Некоторые кривые, заданные параметрически

2.2.1. Циклоида

Циклоидой называется кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии (рис. 2.7).

Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв прямую линию за ось ОХ, предполагая, что радиус, катящейся окружности равен а и в начальный момент движущаяся точка М совпадает с началом координат. За параметр t примем угол поворота (в радианах) подвижного радиуса KC, где К – точка касания окружности с осью ОХ. Так как качение окружности проис-

ходит без скольжения, то OK MK at .

Y
y
		a
			C	2a
	M	t		2a
	M	t	Q
			Q
O	P	K		a	a	xX
	at
				Рис. 2.7. Циклоида

Отсюда для координат движущейся точки М циклоиды получим следующие выражения: x OP OK PK OK MQ at asin t a t sin t ,

y PM KC QC a a cost a 1 cost .

Таким образом, параметрические уравнения циклоиды

x a t sin t ,
	t ,	(2.5)
y a 1 cos t .	t ,	(2.5)
y a 1 cos t .

В декартовых координатах уравнение циклоиды:


a cos	x	y 2a y	a y;	a 0 .
a cos		a	a y;	a 0 .
		a

2.2.2. Астроида

Астроида – это кривая, определяемая параметрическими уравнениями

x a cos3 t,
	(2.6)
	(2.6)
y a sin 3 t.

Определим значения x и y для различных значений t и занесем их в табл. 2.3. Так как

тригонометрические функции синус и косинус являются периодическими с периодом 2 , то t 0, 2 .

Таблица 2.3

										x a cos3 t,
					Значения функции
					Значения функции
										y a sin 3 t.


t	0													2		3		5
t	0		6			4		3			2		3		4		6
			6			4		3			2		3		4		6
																	-
x	1		0,6495			0,3535		0,125			0		-0,125		-0,3535		0,64		-1
																	95
y	0		0,125			0,3535		0,6495			1		0,6495		0,3535		0,12			0
y	0		0,125			0,3535		0,6495			1		0,6495		0,3535		5			0
																	5

t		7		5			4		3			5		7	11			2

	6		4			3		2			3		4		6
	6		4			3		2			3		4		6
x	-0,6495		-0,3535			-0,125		0			0,125		0,3535		0,6495		-1
y	-0,125		-0,3535			-0,6495		-1			-0,6495		-0,3535		-0,125		0

Исключив параметр t, можно найти уравнение астроиды в прямоугольной системе коорди-

нат. Из первого уравнения определим cos3 t , а из второго уравнения sin 3 t ; cos3 t ax , sin 3 t ay ,

		1			1
	x
		3		y		3
или	cost		,	sin t			.

	a			a

Так как sin 2 t cos2 t 1, то возводя в квадрат обе части последних равенств, потом складывая их, получим:

		1	2				1	2
x 3					y 3				cos	2	t sin	2	t 1


	a				a
	a				a

или
					2	2			2

				x 3 y 3				a 3 .							(2.7)
На рис. 2.8 изображено геометрическое место точек, удовлетворяющее уравнению (2.6)
или уравнению (2.7), т.е. построена астроида.
Окружность радиуса а – направляющая кривая L, окружность К радиуса														a	катится без
														4	катится без
														4

скольжения внутри нее. Тогда точка М окружности К описывает кривую с параметрическими уравнениями x acos3 t, y asin 3 t , т.е. астроиду.

Источник: https://studfile.net/preview/16565923/

Смотрите также:

# Вопрос Ответ
3429
Logika-2
Абсцесс: причины появления, классификация, клиническая картина
Аграрная реформа П.А. Столыпина
Анализ расходов бюджета Пермского края
Взаимодействие разных систем языков в едином коммуникативном пространстве на примере Новой Зеландии
Возможности и оценка эффективности мультимедийной обучающей системы по подготовке судей по виду спорта самбо
Гендерные установки и стереотипы
Интеграция методов управленческого учета в системе функционального учета затрат