Материал: Полярная система координат. Параметрически заданные кривые. Приложения определенного интеграла. Каверина В.К., Некрасова Н.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Тогда для построения точки A(3,	)	повернем полярную ось на угол		против движе-
	2		2

ния часовой стрелки, а затем отложим от полюса в положительном направлении отрезок ОА,
равный по длине трем единицам. Концом этого отрезка и будет точка A(3, ) .
																					2
Для построения точки B(2,							5	)	полярную ось поворачиваем на угол													5	против хода
Для построения точки B(2,								)	полярную ось поворачиваем на угол													4	против хода
						4																4
часовой стрелки, а затем откладываем от полюса												в положительном направлении отрезок ОВ,
равный по длине двум единицам выбранного масштаба. Аналогично строим точку F (3, ) .
Для построения точки C(3, )										полярную ось нужно поворачивать в отрицательном на-
						6
правлении,	т.е. по направлению движения часовой стрелки на угол, затем на ней отложить от-
резок ОС, равный по длине трем единицам масштаба. Аналогично строим точку D(3, ) .
																							2
При построении точки					E( 2, )					полярную ось поворачиваем на угол													против хода
часовой стрелки,		и так как 2 , откладываем отрезок ОЕ,																		равный по длине двум единицам
не на луче, соответствующем углу , а на его продолжении за полюс, т.е. на самой оси O .
Пример 1.2. В полярной системе координат даны точки																				M1 (4, ) ;	M 2 (3,	) ;	M3 (6, ) .
																				4		2	6
Найти их декартовы координаты.
Решение. Используем формулы (1.1) для нахождения декартовых координат по заданным
полярным координатам и . Так, для точки M														(4, )			имеем x 4 cos 4						2	2 2 ;
полярным координатам и . Так, для точки M													1	(4, )			имеем x 4 cos 4							2 2 ;
													1		4						4	2
															4						4	2
y 4 sin	4	2	2 2 , а значит,						декартовы координаты точки M1 будут x 2														2 ; y 2 2
y 4 sin	4		2 2 , а значит,						декартовы координаты точки M1 будут x 2														2 ; y 2 2
4	2
или M1 (2	2, 2 2 ) . Для точки M2 (3,								) , как нетрудно видеть,											x 3 cos	0 ;	y 3 sin 3 ,
									2											2			2
то есть в декартовых координатах M										2	(0, 3) . Для точки				M	3		(6, ) по аналогии будем иметь:
										2						3				6
																				6
					3														1
x	6 cos			6		3 3			;		y 6 sin				6					3 ,	M3 (3 3,		3).
x	6 cos		6	6	2	3 3			;		y 6 sin				6				2	3 ,	M3 (3 3,		3).
			6		2							6							2
На рис. 1.3 точки M1 ,					M 2 , M 3				изображены в декартовой и полярной системах координат.

Точки на плоскости занимают одно и то же положение, в какой бы системе координат их не строить. Аналогично и кривая, построенная в декартовой и в полярной системах координат, не изменит своего положения на плоскости, в какой бы системе координат ее не строили. Поэтому построение линии проводят в той системе координат, где их уравнения проще.

Пример 1.3. Определить полярные координаты точек M1( 1,				0) ;	M2 ( 1, 1) .
Решение.	Воспользуемся формулами (1.2). При нахождении угла , следует учитывать,
в какой четверти находится точка M (x, y) . Для точки M1( 1, 0) имеем:					x 1,	y 0 и, сле-
довательно,	( 1)2 02 1, tg	0	0 . Так как x 1 0 ,	то точка M1		находится на

		1

оси O (рис. 1.4)	и , следовательно,										M1 в полярной системе координат имеет коорди-

наты M (1, ) . Для точки				M	2	( 1, 1) при						x 1				и			y 1						( 1)2 ( 1)2 2 ,
1					2
tg 1, а так как	x 1 0 ,				y 1 0 , то												5				. Тогда легко определяются поляр-
tg 1, а так как	x 1 0 ,				y 1 0 , то																. Тогда легко определяются поляр-
													4				4
ные координаты точки M			:				2 ,			5	или									5		) .
		2								5			M		2	(		2,		5
													M			(		2,
							4										4
							4										4
							Y
									M2 (0,3)					M1(2 2,2 2)
					2		2							M1(2 2,2 2)
					2		2


								2
								2
											4		2			2	3						3
							0						2			2								X,


													6
													6

3	M3	(3	3, 3)

Рис. 1.3. Точки в декартовой и полярной системах координат

M1( 1,0)

M2 ( 1, 1)

Рис. 1.4. Геометрические представления к определению полярных координат точек

Пример 1.4. На рис. 1.5 изображен квадрат со стороной a 4 ед. Определить полярные координаты и вершин квадрата и середин его сторон.

Решение. Исходя из положения точек A, M, D, Q, C, R, B, N, O, нетрудно определить их декартовые координаты. Далее, если точку O считать полюсом, а ось O совместить с осью

OХ , то легко определить при выбранной масштабной единице полярные координаты этих точек. Студенту рекомендуется сделать это самостоятельно.

	) ; B(2			3				5			7		) ; M (2, 0)
Ответ: A(2 2,		2,		3	) ; C(2 2,			5	) ;	D(2 2,	7			;
Ответ: A(2 2,		2,			) ; C(2 2,				) ;	D(2 2,				;
	4		4				4				4
					N (2,	) ;	R(2, ) ; Q(2,				3	) .
					N (2,	) ;	R(2, ) ; Q(2,					) .
						2					2
							Y
			B						N				A

		M
R	0	2 X,

C Q D

Рис. 1.5. К определению декартовых и полярных координат вершин и середин сторон квадрата

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1.1. Построить точки, заданные полярными координатами A(2; π/4), B(3; 4π/3 ), C(1; π/6 ),

D(3; − 4π/3 ), E(4; − π/4 ).

1.2. Найти полярные координаты точек, заданных в декартовых координатах A(1; 3 ), B( 2 3 ; 2), C(−4; 4), D( 2 ; 6 ), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось

сположительным направлением оси OХ.

1.3.Найти прямоугольные координаты точек, заданных в полярных координатах A( 2 2 ; 3π/4), B(7; π/2), C(3; 5π/4), D(1; − π/4), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось с положительным направлением оси OХ.

1.4. Найти полярные координаты точек, симметричных точкам	A(3; π/6), B(5; 2π/3),
C(2; − π/6) относительно: 1) полюса; 2) полярной оси.

1.2. Полярные уравнения линии

При исследовании формы линии на основании ее уравнения приходится часто пользоваться полярными координатами. Это удобно делать в том случае, если уравнение линии в полярных координатах проще, чем в декартовых. Иногда встречается надобность в переходе от уравнения линии в декартовых координатах к уравнению той же линии в полярных координатах, или наоборот. В этих случаях следует применять формулы (1.1), (1.2), (1.3), связывающие полярные и декартовы координаты.

В полярных координатах линия задается уравнением G( , ) 0 , связывающим полярные координаты ее текущей точки. Если возможно, то это уравнение разрешают относительно , и тогда уравнение линии в полярных координатах принимает вид ( ) . Если ( ) – непериодическая функция, то углу обычно придают как можно больше значений из области определения этой функции. Если функция периодическая, то значения функции находят, придавая углу значения, ограничиваясь изменением его в пределах первого периода для данной функции. При дальнейшем изменении значений угла полученные данные для значений исполь-

зуются в силу периодичности при построении всего графика функции.

Приведем примеры наиболее часто встречающихся линий, графики функций которых построены в полярной системе координат.

Пример 1.5. Найти полярное уравнение прямой x 1.

Решение. Используя формулу x cos , находим, что для данной прямой полярные ко-

	1
ординаты связаны условием 1 cos	или		– это и есть уравнение данной прямой
		cos

(рис. 1.6). Поскольку – величина положительная, угол должен меняться так, чтобы cos оставался положительным, т.е. был в I и IV четвертях.

Y
	M ( , )


0	X,

x 1

Рис. 1.6. Прямая x 1 в полярной системе координат

Пример 1.6. Найти полярное уравнение прямой, не проходящей через начало координат.

Решение. Рассмотрим нормальное уравнение прямой L:

x cos y sin p 0 ,

где	p – расстояние от начала координат до прямой, – угол между осью OX и осью p (рис.
1.7).
	Заменяя x и y по формулам (1.1), получим
	cos cos sin sin p 0 ,
т.е.	cos( ) p . По условию, искомая прямая не проходит через начало координат, поэто-

му отклонение	p 0 . Разделив последнее равенство на cos( ) 0 , получим полярное урав-
нение данной прямой в виде
		p
			.
		cos( )
Нормальное уравнение прямой в полярной системе координат может быть получено и не-
посредственно	из следующих соображений. Выберем на прямой L произвольную точку

M ( , ) . Тогда проекция вектора OM на нормальный вектор Прn OM cos( ) const p , или

M ( , )

n будет вычисляться по формуле

p . cos( )

Рис. 1.7. К выводу нормального уравнения прямой в полярных координатах


	Итак, уравнение прямой в полярной системе координат имеет вид			p	. При

				cos( )
0	получаем	p	, т.е. полярное уравнение прямой, перпендикулярной полярной оси

		cos

(ее уравнение в декартовой системе координат x p ).

Пример 1.7. Пусть Г – эллипс, или ветвь гиперболы или параболы; F – фокус этой кривой; D – соответствующая директриса. Требуется определить уравнение кривой Г в полярной системе координат.

Решение. Уравнениями эллипса, гиперболы и параболы часто пользуются во многих задачах геометрии и механики. Получим эти уравнения в полярных координатах. Пусть O –

полярная полуось. Начало полярной системы координат поместим в фокус F (левый – в случае эллипса, правый – в случае гиперболы и единственный фокус параболы). На рис. 1.8 изображена

Источник: https://studfile.net/preview/16565923/

Смотрите также:

# Вопрос Ответ
Logika-2
Абсцесс: причины появления, классификация, клиническая картина
Возможности и оценка эффективности мультимедийной обучающей системы по подготовке судей по виду спорта самбо
Лекарственные растения в гинекологии
Обучение произносительной стороне говорения: фонетические особенности индийского варианта английского языка
Особенности управления затратами торговых организаций
Песни Россино Мантуанца: из истории североитальянской фроттолы
Реализация личностно-ориентированного подхода в подготовке инженерных кадров
Синтез керуючих автоматів