Материал: Полярная система координат. Параметрически заданные кривые. Приложения определенного интеграла. Каверина В.К., Некрасова Н.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	k
знаменателем e		2 .
									Таблица 1.6
		Полярные координаты точек логарифмической спирали 2ek


				2	0		2
				2	0		2
			2e k	2e k / 2	2		2ek / 2	2e k

Когда угол неограниченно возрастает, то						также неограниченно растет, а когда

, то полярный радиус стремится к нулю и кривая неограниченно приближается к полю-

су О, закручиваясь около него. Поэтому точка О называется асимптотической точкой логарифмической спирали. Кривая пересекает все лучи, выходящие из точки О под одним и тем же углом , при этом k ctg (рис. 1.26, а). На этом свойстве основано применение логарифмиче-

ских спиралей в технике. Например, нужный угол резания вращающихся ножей в режущих машинах обеспечивается выбором параметра соответствующей спирали.

Пример 1.21. Построить график функции a , a 0 .

Решение. При 0 будет 1. Если a 1 , то при значение и спираль развертывается против хода часовой стрелки (рис. 1.26, б). Если 0 a 1, то при полярный радиус 0 и спираль закручивается вокруг полюса против хода часовой стрелки, стремясь к своей асимптотической точке О (рис. 1.26 б).

Пример 1.21. Построить график функции a , a 0 .

а)

б)

Рис. 1.26. Логарифмическая спираль 2ek

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1.11.Какой диапазон параметра соответствует тому, что спираль Архимеда сделает четыре первых полных оборота? Построить кривую.

1.12.Построить кривую e .

1.5. Некоторые важные кривые

1.5.1. Конхоиды

Конхоидой называется кривая, получающая при увеличении или уменьшении радиусвектора каждой точки данной кривой на постоянный отрезок b. Если уравнение кривой в полярных координатах имеет вид f ( ) , то уравнение конхоиды будет f ( ) b . Конхоида

прямой x a ‒ конхоида Никомеда, конхоида окружности – улитка Паскаля.

Конхоида Никомеда – плоская алгебраическая кривая четвертого порядка, уравнение кото-

рой в декартовых координатах имеет вид
x2 y2 x a 2 b2 x2 ,			a 0 ,	b 0 .	(1.23)
Полярное уравнение конхоиды принимает вид
	a	b ,			(1.24)

	cos
знак “+” соответствует правой ветви кривой, а знак “-“			– левой ветви (рис. 1.27). Асимптота
кривой x a для обеих ветвей.

Конхоида Никомеда названа по имени древнегреческого математика III-II века до н.э. Ни-

комеда, который применял ее для решения задачи о трисекции угла.
Y			Y				Y

	b				b			b
					b


0	a	X	0	a		X	0 a		X

а)		б)				в)
	Рис. 1.27. Конхоида	a	b :	а) b a ;	б) b a ;	в) b a

		cos

1.5.2. Строфоида

Строфоида – плоская алгебраическая кривая третьего порядка (рис. 1.28), уравнение которой в декартовых координатах имеет вид

y2 x2

a x

, a 0 .

(1.25)

a x

а в полярных координатах

cos 2

(1.26)

cos

Характеристическое свойство строфоиды состоит в следующем: для всякого луча, исхо-

дящего из точки A( a,0) , выполняется равенство

(рис. 1.28). Начало коорди-

нат – узловая точка с касательными y x . Асимптота x a . Площадь петли S 2a2

1/ 2 a2

(см. рис. 1.28). Площадь между кривой и асимптотой S2 2a2

1/ 2 a2 . Строфоида относится к

так называемым узлам.

-a

Рис. 1.28. Строфоида a	cos 2
	cos

1.5.3. Улитка Паскаля
Уравнение улитки Паскаля в декартовых координатах имеет вид
x2 y2 2ax b2 x2 y2 , a 0 , b 0 .		(1.27)
Уравнение кривой в полярных координатах при a b
2a cos b .		(1.28)

Характеристическое свойство улитки Паскаля состоит в следующем: для всякого луча, исходящего из точки О, выполняется равенство BM BN b const (рис. 1.29).

Улитка Паскаля названа по имени выдающегося французского математика Э. Паскаля (1-я половина XVII в.), впервые рассмотревшего ее.

Рис. 1.29. Улитка Паскаля 2a cos b
1.5.4. Кривая Каппа
Уравнение кривой Каппа (рис. 1.30) в полярной системе координат имеет вид
a ctg .	(1.29)
Переходя в уравнение кривой к прямоугольным декартовым координатам, получим
x2 y2 y2 a2 x2 ,	(1.30)

откуда следует, что каппа представляет собой алгебраическую кривую четвертого порядка, симметричную относительно осей координат.

Так как
	F(x, y) x2 y2 y2 a2 x2 и F 2xy 2a2 x ,		F 2x2 y 4 y3 ,
	x		y
то при x 0 , y 0 имеем Fx 0 , Fy 0 . Следовательно,		начало координат есть особая точка.
Поскольку вторая производная по аргументу x , равная F		2y2	2a2 при x 0 , y 0 отлич-
	xx
на от нуля,	то начало координат является двойной особой точкой. Заметим, что F			F F 0
			xy	xx yy
при x 0 ,	y 0 . Отсюда следует, что начало координат есть точка самоприкосновения (узло-
вая точка). Асимптотами кривой являются прямые y a .

Y a

-a

Рис. 1.30. Кривая Каппа a ctg

1.5.5. Кохлеоида

Уравнение кохлеоиды (рис. 1.31) в полярных координатах имеет вид

			a	sin	.	(1.31)


Если 0 , то a ; если же k			( k 0, 1, 2,... ),			то 0 .
Так как	sin	– четная функция, то кривая симметрична относительно полярной оси.


При		0 , причем радиус-вектор последовательно описывает затухающие

лепестки, вершины которых достигаются при значениях , являющихся корнями уравнения tg (рис. 1.31). Кохлеоида обладает следующим свойством: каждая прямая, проведенная

через полюс О, пересекает кривую в точках, касательные в которых проходят через одну и ту же точку.

Рис. 1.31. Кохлеоида a sin

1.5.6. Овал Кассини

Овал Кассини определяется как геометрическое место точек, для которых произведение расстояний до двух заданных фиксированных точек F1(c;0) и F2(-c;0) есть величина постоянная,

равная a2, то есть MF MF a2 (рис. 1.32).
1	2
Уравнение кривой в декартовых координатах
x2	y2 2 2c2 x2 y2 a4 c4 0 ,		c 0 ,	a 0 .	(1.32)
Уравнение в полярных координатах
	2 c2 cos2	c4 cos2 (a4		c4 ) .	(1.33)

При a 0 овал вырождается в две точки F1 и F2. При возрастании a от 0 до с около точек F1 и F2 появляются замкнутые линии, которые, увеличиваясь в размерах, смыкаются при a c , образовав лемнискату. При дальнейшем увеличении a овал представляет собой замкнутую ли-

нию, имеющую “талию”. При a c 2 “талия” исчезает. При последующем увеличении пара-

Источник: https://studfile.net/preview/16565923/

Смотрите также:

# Вопрос Ответ
3429
Logika-2
Абсцесс: причины появления, классификация, клиническая картина
Взаимодействие разных систем языков в едином коммуникативном пространстве на примере Новой Зеландии
Возможности и оценка эффективности мультимедийной обучающей системы по подготовке судей по виду спорта самбо
Гендерные установки и стереотипы
Интеграция методов управленческого учета в системе функционального учета затрат
Лекарственные растения в гинекологии
Некоторые аспекты адаптации первокурсников к творческой деятельности в профессии