Материал: Полярная система координат. Параметрически заданные кривые. Приложения определенного интеграла. Каверина В.К., Некрасова Н.Н

метра a кривые примут форму эллипсоидных овалов. Овал Кассини относится к лемнискатам. Рассматривался Дж. Кассини (XVII в.) при попытках определить орбиту Земли.

Y

Рис. 1.32. Овалы Кассини 2 c2 cos2 c4 cos2 (a4 c4 )

1.5.7. Циссоида

Циссоида – плоская алгебраическая кривая третьего порядка (рис. 1.33), уравнение которой в декартовых координатах имеет вид

Характеристическое свойство циссоиды: для всякого луча, исходящего из точки O, выполняется равенство OM BC (рис. 1.33). Асимптотой циссоиды является вертикальная прямая x a . Циссоида симметрична относительно оси абсцисс. Площадь между кривой и асимптотой

равна S 3 a2 / 4 . Греческий математик Диоклес (III в. до н.э.) рассматривал циссоиду в связи с решением задачи об удвоении куба.

36

Y

C

B

M

ГЛАВА 2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ФУНКЦИЙ

2.1. Основные понятия

Параметрические уравнения играют важную роль, например, в механике, где координаты x и у движущейся точки M x, y рассматриваются как функции времени (уравнения движения).

При описании уравнений геометрических мест (линий) иногда оказывается более удобным выразить координаты х и у произвольной точки этого геометрического места через некоторую вспомогательную величину t, которую называют параметром, т.е. представить х и у в виде:

Такое представление искомой линии называется параметрическим, а уравнения системы

(2.1) называют параметрическими уравнениями данной линии.

В качестве параметра может быть взято не обязательно время, а, например, некоторый угол между вектором, идущим из фиксированной точки интересующей нас кривой, и заданной осью, или каким то образом выбранная алгебраическая зависимость переменных x и у от некоторого параметра t.

Исключение параметра t из системы (2.1) (если оно возможно) приводит к уравнению, связывающему х и у, то есть к обычному уравнению линии вида f x, y 0 .

37

Для приближенного построения графика кривой, заданной параметрически, достаточно построить таблицу значений x и у в зависимости от возможных значений параметра t (табл. 2.1). При этом надо учитывать t1 t2 ... tn .

Таблица 2.1

Значения x и у от параметра t

Затем построить на плоскости декартову систему координат, отметить на ней точки с координатами (x1, y1), (x2 , y2 ),...,(xn , yn ) и соединить эти точки в порядке увеличения параметра t.

Параметрически задавать кривую можно в любой системе координат, но мы будем рассматривать параметрическое задание кривой только в декартовой системе.

Пример 2.1. Составить параметрические уравнения окружности.

Решение. Рассмотрим окружность радиуса R с центром в начале координат. Пусть M x, y – произвольная точка окружности (рис 2.1).

Спроектируем точку М на ось ОХ и рассмотрим прямоугольный треугольник ОАМ. Угол АОМ обозначим через t. Тогда декартовы координаты х и у точки М будут связаны с параметром t равенствами

x R cost,

(2.2)

y Rsin t.

Это и есть параметрические уравнения окружности.

38

рат каждое из последних равенств и сложим, получим выражение вида

Имея параметрические уравнения кривой можно построить ее по точкам.

Пример 2.3. Построить кривую

x t 2 ,

y 2t.

Решение. Составим таблицу значений функции в зависимости от возможных значений параметра t (табл. 2.2).

Нанося точки с соответствующими координатами (х, у) на плоскость OXY и соединяя их линией, получим искомую кривую. Эта кривая – парабола. Действительно, исключая параметр t

-3

-4

Рис. 2.3. Парабола с вершиной в начале координат

40