Материал: Полярная система координат. Параметрически заданные кривые. Приложения определенного интеграла. Каверина В.К., Некрасова Н.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пример 4.1. Найти площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой a cos3

(см. рис. 1.12).

Решение. Найдем сначала площадь половины одного лепестка розы, т.е. 1/6 часть всей площади фигуры:

1			1	/6		a cos3 2 d				1		/6			1 cos6 d
1	S		1							1	a2
	S										a2
6			2	0						2			0
				0									0
		a2			/ 6		1	sin 6	/ 6					a	2	0	a2	2


																	(ед		).
																	(ед		).
	4					0	6		0					4 6			24

Ответ: S 4a2 (ед2 ).

Пример 4.2. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли a cos 2

(см. рис. 1.15).

Решение. Найдем сначала площадь одной четверти искомой фигуры, когда меняется от

0 до

/ 4

a cos 2

cos 2d

sin 2

(ед2 ).

Ответ: S a2 (ед2 ) .

Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически

x x(t),

y y(t),

прямыми x a

и x b и осью OX, то площадь ее находится по формуле

S y(t)x (t)dt ,

где и определяются из равенств x( ) a и x( ) b .

Пример 4.3. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом:

x a cost,

y bsin t.

Решение. Найдем сначала 1/4 площади эллипса. Здесь x меняется от 0 до a следовательно,

t изменяется от

до 0 (см. рис. 2.2). Находим:

bsin t a cos t

dt bsin t a sin t dt ab

sin

tdt

1 cos 2t

/ 2

sin 2t

/ 2

(ед

Таким образом, площадь эллипса равна S ab (ед2).

Пример 4.4. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды:

x a(t sin t),

b(1 cost).

Решение. Изменению t от 0 до 2		соответствует изменение x от 0 до					2 a (см. рис. 2.7).
По формуле:
2	dt a		2	2	2	2		2	dt
S a(1 cos t) a(1 sin t)	dt a			(1 cos t) 1 cos t dt a			(1 cos t)		dt

										0
					2		2	2						1 cos 2t
(1 2 cos t cos						t)dt a		1 2 cos t								dt
(1 2 cos t cos						t)dt a		1 2 cos t								dt
								0						2
	3		1						2	3		2			2		1
	3		1						2	3		2			2		1
		2 cos t		cos 2t dt a							t		2sin t					sin 2t
		2 cos t		cos 2t dt a							t		2sin t					sin 2t
	2		2							2		0			0		4

3 a2 (ед2 ). 0

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

4.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной системе координат. Фигуру изобразить на чертеже: а) 3cos , 0 2 ; б) 3(1 cos ) , 0 2 ; в) 4 sin 2 ; г) 2 , один виток спирали Архимеда и полярная ось.

4.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в параметрической форме. Фигуру изобразить на чертеже: а) x 5cos2 t , y 5sin 2 t ; б) x 3cost , y 3sin t .

4.2. Вычисление длины дуги кривой

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах ( ) , где ( ) - непрерывная функция с непрерывной производной при . Тогда длина кривой AB находится по формуле:


L	2 ( ) 2 ( )d .

Пример 4.5. Найти длину кардиоиды a(1 cos ) .

Решение. Кардиоида имеет вид, изображенный на рис. 1.19. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем половину длины кардиоиды:


L		(a(1 cos ))2	(a(1 cos )) 2 d					(a(1 cos ))2		(a( sin ))2 d
0						0
											2 d
a	1 2cos cos2 sin2 d a								d a
a	1 2cos cos2 sin2 d a						2 2cos		d a	2 2sin
0					0			0			2
0					0			0


2a sin d 4a cos				0	4a (ед).
0	2		2	0
0
Таким образом, длина кардиоиды равна L 8a (ед) .

Пример 4.6. Найти длину первого витка архимедовой спирали a .

Решение. Первый виток спирали Архимеда образуется при изменении полярного угла от 0 до 2 (см. рис. 1.20). Тогда

2
L	a2 2 (a ) 2 d								a2 2 a2 d a						2 1d .
0							0						0
Используя формулу интегрирования по частям, получим
		2			1			2			1			2		2

L a			1d a						1			ln(			1)
L a			1d a						1			ln(			1)
0						2					2						0
a	4 2		1	1	ln( 2			4 2		1)		.
a	4 2		1		ln( 2			4 2		1)		.

			2
Пусть кривая AB задана параметрически
				x x(t),					t ,
						y(t),			t ,
				y		y(t),

где x(t) и y(t) – непрерывные функции с непрерывными производными при t . Тогда длина кривой AB находится по формуле:


L	x 2 (t) y 2 (t)dt .

Пример 4.7. Найти длину дуги одной арки циклоиды:

x a(t sin t),		0	t 2 .

y a(1	cost),

Решение. Из уравнения циклоиды находим

x a(1 cost),

y a sin t,

когда x пробегает отрезок[0, 2 a], параметр t пробегает отрезок [0, 2 ]. Следовательно, получаем

2						2
L	(a(1 cos t))2 (a sin t)2 d a						1 2 cos t cos2 t sin2 tdt
0				t	0				t		t	2
2		2		t				2	t		t	2
2		2						2
a	2 2 cos tdt a		2 2 sin2		dt 2a sin					d 4a cos		0	8a (ед).
a	2 2 cos tdt a		2 2 sin2	2	dt 2a sin				2	d 4a cos	2		8a (ед).
0	0			2			0		2		2
0	0						0

x a cos3 t,

Пример 4.8. Найти длину астроиды:

y a sin 3 t.

Решение. Так как кривая симметрична относительно обеих координатных осей, то вычислим сначала длину ее четвертой части, расположенной в первой четверти.

Из уравнения астроиды находим

					x	3a cos2 t sin t,

					y 3a sin 2 t cost.
Параметр t будет меняться от 0 до / 2 . Следовательно,
	1	/ 2							2
	1	L	9a2 cos4 t sin 2 t 9a2 sin 4 t cos2 td 3a							cos2 t sin 2 tdt
4		L	9a2 cos4 t sin 2 t 9a2 sin 4 t cos2 td 3a							cos2 t sin 2 tdt
4		0							0
		0							0
		2			sin 2 t			3a
		2			sin 2 t		/ 2	3a
3a cost sin tdt				3a			0		,
3a cost sin tdt				3a	2			2	,
		0			2			2
Значит, L 6a (ед).

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

4.3.Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярной системе координат: а)

4 cos ; б) 4(1 cos ) ; в) 5sin ; г) sin 3 3 , 0 t 2 .

4.4.Вычислить площадь фигуры, длину дуги кривой, заданной уравнением в параметриче-

ской форме: а) x 3cost , y 3sin t ;	б) x 5cos2 t ,	y 5sin 2 t ,	0 t		;	в)
				2
x 2(cost t sin t) , y 2(sin t t cost) ,	0 t .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Современную науку невозможно представить без применения графиков. Они стали средством научного анализа и обобщения, а так же являются необходимый элемент в практической и исследовательской работе инженерно-технических специалистов. Поэтому так важно понимать и хорошо владеть техникой построения графиков функций в разных системах координат.

Предлагаемое учебное пособие позволит учащимся разобраться с основными понятиями построения функций, заданных параметрическим образом и в полярной системе координат.

Эти знания, безусловно, помогут Вам при изучении таких разделов как аналитическая геометрия, приложение определенных и кратных интегралов к задачам геометрии и механики, дифференциальное исчисление функции одной переменной и др. В качестве справочного материала может быть использовано при выполнении курсовых и дипломных проектов.

Авторы надеются, что данное пособие будет хорошим подспорьем для студентов, как во время аудиторных занятий, так и в процессе самостоятельной работы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман. – М.: Наука.

–2003 г. – 416 с.

2. Бронштейн И.П. Справочник по математике / И.П. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.:

Наука, 1986. – 345 c.

3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский. – М.: ООО

«Изд-во АСТ», 2003. – 509 с.

4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. – М.: ООО «Издво Астрель»: «Изд-во АСТ», 2003. – 499 с.

5. Грибов А.Ф. Построение кривых, заданных параметрически и в полярной системе координат: Методические указания / А.Ф. Грибов, А.В. Котович, О.М. Минеева. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 31 с.

6. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Выс. шк., 2000. – 255 с.

7. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. – М.: Наука,

1980. – 240 с.

8. Микуцкая Г.С. Построение кривых и поверхностей / Г.С. Микуцкая, В.Н. Стефанова,

Г.Г.Судакова. – Л.: ЛКИ, 1992. – 105 с.

9. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике / В.П. Минорский. – М.: Наука,

1987. – 287 c.

10. Привалов И.И. Аналитическая геометрия: учебник / И.И. Привалов.– СПб.: Изд-во

«Лань», 2004. – 304 c.

11. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Н.С Пискунов. – М.:

Наука, 2003. – 309 c.

12. Соболев С.К. Исследование и построение плоских кривых, заданных параметрически и в полярных координатах / С.К. Соболев, А.Т. Ильичев. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,

2004. – 78 с.

13. Райхмист Р.Б. Графики функций / Р.Б. Райхмист. – М.: Высшая школа, 1991. – 151 с. 14. Шипачев В.С. Высшая математика / В.С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2003. – 425 c.

Источник: https://studfile.net/preview/16565923/

Смотрите также:

# Вопрос Ответ
Logika-2
Абсцесс: причины появления, классификация, клиническая картина
Возможности и оценка эффективности мультимедийной обучающей системы по подготовке судей по виду спорта самбо
Лекарственные растения в гинекологии
Обучение произносительной стороне говорения: фонетические особенности индийского варианта английского языка
Особенности управления затратами торговых организаций
Песни Россино Мантуанца: из истории североитальянской фроттолы
Реализация личностно-ориентированного подхода в подготовке инженерных кадров
Синтез керуючих автоматів