Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

функции при x→ +∞.

Число b называется пределом функции f(x) при стрем-

лении x к +∞, если для любого положительного числа ε найдется такое число x0, что для всех x, больших x0, выполняется неравенство: | f (x) – b | < ε .

Геометрическая интерпретация этого определения приведена на рис. 1.4. В логических символах это определение выглядит

так: lim f(x) = b означает ε > 0 x0 x > x0 ( | f(x) – b | < ε ).

x→+∞

Пример 3. Доказать, что lim 1 = 0 , x (0, +∞).

x→+∞ x

Доказательство: f (x) = 1 . Зафиксируем произвольное ε > 0, x

покажем, что найдется такое x0, что для всех x, больших x0: y

b+ε

ε

b

ε

b−ε

y = f (x)

16

1x < ε x > ε1 .

Обозначим: x0 = ε1 , тогда при x > x0: |f (x) – 0 | < ε, значит,

lim 1 = 0.

x→+∞ x

Пусть для некоторой функции y = f (x) lim f (x )= b, геомет-

x→+∞

рически это означает, что точки графика y = f (x) приближаются к точкам прямой y = b (с той же абсциссой) при неограниченном возрастании x. В этом случае говорят, что прямая y = b является асимптотой графика y = f (x) при x→ +∞.

Неравенство: | f (x) – b | < ε равносильно двойному неравенству:

a1, a2, ..., an , ... есть функция натурального аргумента, an = f (n), n N. Определение предела последовательности почти дословно повторяет определение предела функции при x→+∞.

Число b называется пределом последовательности {an},

если для любого ε > 0 существует такое натуральное число n0, что для всех натуральных n, больших n0, выполняется нера-

венство: | an – b | < ε. Обозначение: lim an = b.

n→+∞

Рассмотренные пределы объединяются общим названием

«пределы на бесконечности». Не надо думать, что любая функция, определенная на R, имеет предел при x → +∞ или

17

x → –∞. Например, lim sinx не существует, так как значения

x→+∞

sinx при неограниченном возрастании x периодически меняются от –1 до +1, не приближаясь ни к какому постоянному

числу. Аналогично, не существует lim sinx. Последователь-

x→−∞

ность: a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, ..., an = 2n – 1, ... также не имеет предела.

1.5. Предел функции в точке

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 (возможно, определена на R), но в самой точке x0 функция f (x) может быть и не определена.

Дадим сначала описательное определение предела функции в точке и приведем пример.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x0

(x → x0), если значения f (x) приближаются к числу b как угодно близко при условии, что значения аргумента x подходят к x0

достаточно близко. Обозначение: lim f (x) = b.

x→x0

18

дим, что значения f (x) тем меньше отличаются от числа 4, чем ближе значения аргумента x подходят к 2.

неравенству:

2 – 201 < x < 2 + 201 , выполняется неравенство

|f (x) – 4| < 101 .

Аналогично можно показать, что

|f (x) – 4| < 1001 , если

19

точке x0 (при стремлении x к x0), если для любого положи-

тельного числа ε найдется положительное число δ, такое, что для любого x ≠ x0 и удовлетворяющему неравенству:

x0 – δ < x < x0 + δ, выполняется неравенство: | f (x) – b| < ε.

Символически lim f (x) = b означает:

x→x0

ε > 0 δ > 0 x ≠ x0 (x0 – δ < x < x0 + δ → | f(x) – b | < ε). (*)

1.6) это иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, отстоящих от x0 не далее, чем на δ, значения f (x) отличаются от b не более чем на ε.

Пример 2. Показать, что lim x = x0.

x→x0

В самом деле f (x) = x, поэтому для любого ε > 0:

| f (x) – x0 | < ε при условии | x – x0 | < ε (здесь δ = ε).

20