Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Находим производную y′ = xe−x (2 − x) и приравниваем ее к нулю xe−x (2 − x) = 0 .

Решая это уравнение, находим критические точки х1=0 и x2 = 2. Поскольку производная меняет знак согласно схеме (рис. 2.59), то в точке x = 0 функция имеет максимум, равный

нулю, а в точке х = 2 минимум, равный y(2) = e42 ,

		Рис. 2.59
Находим	вторую	производную	y′′ = e−x (2 − 4x + x2 ) и
приравниваем	ее к	нулю e−x (2 −4x + x2 ) =0,		откуда
x1,2 = 2 ± 2 .
Поскольку	вторая	производная	меняет знак	согласно

схеме (рис. 2.60), то в точках x1,2 = 2 ± 2 функция имеет пе-

региб	и при	x < 2 − 2 кривая выпукла	вниз,	при
x ]2 −	2,2 +	2[ кривая выпукла вверх, при	x ]2 +	2, ∞[
кривая выпукла вниз.

Рис. 2.60

Находим пределы:
lim x2 e−x = ∞,	lim x2 e−x = lim		x2	= lim	2x	= lim	2	= 0 ,

x→−∞	x→∞	x→∞ ex		x→∞ ex		x→∞ ex

231

т. е. прямая у = 0 есть горизонтальная асимптота. График функции показан на рис. 2.61.

Рис. 2.61

д) Функция существует для всех значений х, кроме х = 1. При x = 1 функция терпит разрыв. При х = 0 функция равна нулю. При x ≠ 0 имеем y > 0, т. е. функция не отрица-

тельна. Находим производную y

′

= − (x −1)

и приравниваем

ее к нулю: x = 0. Находим вторую производную y′′ =

2(2x +1)

(x −1)4

и определяем ее знак при х = 0. Поскольку

′′

то при

(0) > 0 ,

х = 0 функция имеет минимум, равный y(0) = 0.

Вторая производная y

′′

= 0

при x = − 2

и меняет свой

знак с минуса на плюс при переходе через эту точку, следова-

тельно, при				x = −				1	кривая имеет перегиб, ордината которого
тельно, при				x = −			2		кривая имеет перегиб, ордината которого
			1			1	2
			1			1
равна	y	−			=		.
равна	y	−	2		=	9	.
			2			9

232

Находим предел lim	x2	= ∞ , т. е. прямая х = 1 есть
Находим предел lim	(x −1)2	= ∞ , т. е. прямая х = 1 есть
x→1	(x −1)2
вертикальная асимптота. При x → ±∞			предел lim	x2		=1 ,
вертикальная асимптота. При x → ±∞			предел lim		2	=1 ,
			x→±∞ (x −1)		2

т. е. прямая у = 1 есть горизонтальная асимптота. График функции показан на рис. 2.62.

						Рис. 2.62
14.2. Исследовать функции и построить их графики:
а)	x = a cos3 t,				y = a sin 3 t, t [0,2π[; ;
б)	x = a(t −sin t),					y = a(1 − cos t), t [0,2π] ;
в)	x =	3at		,	y =	3at 2	.
		1 + t	3			1 + t 3

Решение. a) Функции определены для любого значения t. Поскольку функция x четная, а у нечетная, то график функции симметричен относительно оси ординат и начала координат, т.е. относительно координатных осей.

Полагая x = 0, находим, что cos t = 0 и t =	π	,	3π	.
	2		2

При этих значениях t из выражения y = a sin 3 t находим, что y = ±a .

Полагая у = 0, находим, что sin t = 0 и t = 0,π . При этих значениях t из выражения y = a cos3 t находим, что х = ±а. Та-

233

ким образом, график функции пересекает координатные оси в

точках (a,0); (0,а); (-а,0); (0, -a).

Найдем

производные

y′y

xt′ = −3a cos2 t sin t,

yt′ = 3a sin 2 t cos t,

yt′ =

= −tgt,

y′′xx =

( y′

)′

Из выражения для

xt′

3a cos4

t sin t

y′

x′t

производной

определяем

критические

точки.

При

t = 0,

t = π производная равна нулю, а при t =

t =

3π

- не

существует.

Таким образом, область изменения параметра t разбива-

3π

ется на четыре интервала 0,

;

,π ;

π,

,2π .

2 2

> 0 , т. е. функ-

При t

, производная y′x < 0 , а y′x′

ция убывает и график функции направлен выпуклостью вниз.

При	π	,π		′		и	′′
	t		yx > 0				yxx > 0 , т. е. функция возрастает и
	2
график направлен выпуклостью вниз.
		3π		′			′′
При	t π,		y		< 0	и
		2					yxx < 0 , т. е. функция убывает и гра-

	3π
фик направлен выпуклостью вверх. При	t		,2π y′x > 0 , а
		2

y′xx′ < 0 , т. е. функция возрастает и график направлен выпукло-

стью вверх. Кстати, пользуясь симметрией графика функции, этот анализ можно было ограничить изменением параметра

	π
только одним интервалом, например, t 0,	2	.
	2

При t ={0,π} производная y′x = 0, y = 0 и касательные совпадают с осью x, т. е. точки (a,0) и (-a,0) будут точками

234

возврата. При t = π2 ; 32π производная y′x не существует, а при

x = 0, касательные совпадают с осью у и точки(0,a), (0,-a) будут также точками возврата. Учитывая все это, представим график функции (рис. 2.63). Полученная кривая представляет траекторию движения точки подвижного круга, катящегося изнутри по неподвижному кругу радиуса а, и называется астроидой.

Рис. 7.63

б) Функция определена при любом значении параметра t из интервала t [0,2π]. Найдем точки пересечения графика с

осями координат. При x = 0, sin t = t, t = 0 . При y = 0, cost =1, t = 0, t = 2π . Отсюда следует, что кривая при t=0 проходит через начало координат, а при t = 2π пересекает

ось Ох в точке x = 2πa .
Найдем производные						sin t
xt′ = a(1 − cos t),		yt′ = a sin t, y′x		=		sin t	,
xt′ = a(1 − cos t),		yt′ = a sin t, y′x		=	1	− cos t	,
					1	− cos t
y′′xx =	cos t(1 − cos t) −sin 2 t		= −			1		.
y′′xx =	a(1 − cos t)3		= −	a(1 − cos t)2				.
	a(1 − cos t)3			a(1 − cos t)2
Приравнивая y′x		к нулю, из уравнения sint = 0 находим

значения параметра в критических точках t ={0;π;2π} . Первая производная не существует при 1 − cos t = 0 , т. е. при значени-

235

Источник: https://studfile.net/preview/16565748/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27