Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н
|
|
13 |
−7 |
10 |
|
|
|
|
|||||
= (−1) |
|
0 |
1 |
−3 |
|
. |
|
|
−1 |
3 |
−1 |
|
|
Умножим второй столбец на 3 и сложим с третьим
= (−1) |
|
13 |
−7 |
10 |
|
= (−1) |
|
13 |
−11 |
|
= −93. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
−1 |
3 |
8 |
|
|
|
−1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4. Вычислить определитель п-го порядка
1 |
1 |
1 |
… 1 |
|
1 |
0 |
1 |
… |
1 |
1 |
1 |
0 |
… |
1 . |
1 1 1 … 0
Решение. Воспользуемся свойством 7 и прибавим элементы первой строки, взятые со знаком минус, к элементам всех других строк, тогда, разлагая по элементам 1-го столбца, получим
1 |
1 |
1 |
… 1 |
|
−1 |
0 |
… 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
0 |
1 |
… |
1 |
|
|
|
|
|||
|
0 |
−1 |
… 0 |
|
|
|
|||||
1 |
1 |
0 |
… |
1 |
1+1 |
= (−1) |
n−1 |
. |
|||
= (−1) |
|
|
|
|
|||||||
1 |
1 |
1 |
… |
0 |
|
0 |
0 |
… 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.5. Перемножить определители
2 |
−3 |
1 |
|
|
|
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
0 |
5 |
и |
|
|
4 |
1 |
5 |
|
. |
1 |
− 2 |
3 |
|
|
|
− 2 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
−3 |
1 |
|
|
|
1 |
3 |
4 |
|
= |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 |
0 |
5 |
|
. |
|
4 |
1 |
5 |
|
|
|
|
1 |
− 2 |
3 |
|
|
|
− 2 |
4 |
3 |
|
|
|
2 1 + (−3) 4 +1 (−2) |
2 3 + (−3) 1 +1 4 2 4 + (−3) 5 +1 3 |
|
|
||||||
|
|
|||||||||
= |
4 1 + 0 1 +5 (−2) |
|
4 3 + 0 1 + 5 4 |
4 4 + 0 5 +5 3 |
|
= |
||||
|
1 1 + (−2) 4 +3 (−2) |
1 3 + (−2) 1 +3 4 1 4 + (−2) 5 +3 3 |
|
|
||||||
|
|
−12 |
7 |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
−6 |
|
32 |
31 |
|
= −363. |
|
|
|
|
|
−13 |
13 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Если вычислить непосредственно данные определители, то получим тот же результат
|
|
2 |
−3 |
1 |
|
|
|
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
4 |
0 |
5 |
|
=33, |
|
4 |
1 |
5 |
|
= -11; |
33 (-11) = -363. |
||||
|
|
1 |
− 2 |
3 |
|
|
|
− 2 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1.6. Найти x из уравнения |
|
3 |
x2 |
2 |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
−1 |
x |
1 |
= 0. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Раскроем определитель:
= 3ax + x2 − 2x + ax2 = x(3a + x − 2 + ax) = 0.
Откуда x = (2 −3a) /(a +1), |
|
x = 0. |
|
|
|
|
||
1.7. Вычислить определитель Вандермонда |
|
|||||||
|
|
1 |
a |
a2 |
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
1 |
b |
b2 |
b3 |
|
|
. |
4 |
1 |
c |
c2 |
c3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
d |
d 2 |
d 3 |
|
|
|
12
Решение.
тогда получим
1
0
4 = 0
0
Вычтем первую строку из остальных строк,
a |
a2 |
a3 |
|
|
b − a b2 − a2 |
b3 − a3 |
= |
||
c − a c2 − a2 |
c3 − a3 |
|||
|
||||
d − a d 2 − a2 |
d 3 − a3 |
|
||
= (−1)1+1. |
b − a |
(b − a)(b + a) |
c − a |
(c − a)(c + a) |
|
|
d − a (d − a)(d + a) |
|
|
|
|
|
1 |
b + a |
= (d − a)(c − a)(b − a) |
1 |
c + a |
|
1 |
d + a |
|
|
|
(b − a)(b2 + ab + a2 ) (c − a)(c2 + ac + a2 ) = (d − a)(d 2 + ad + a2 )
b2 |
+ ab + a2 |
|
c2 |
+ ac + a2 |
. |
d 2 |
+ ad + a2 |
|
Снова вычтем первую строку из остальных
|
1 |
b + a |
b2 + ab + a2 |
|
4 = (d − a)(c − a)(b − a) |
0 |
c + a −b − a c2 + ac −b2 − ab − ab |
= |
|
|
0 |
d + a −b − a |
d 2 + ad −b2 |
|
= (−1)1+1 |
(d − a)(c − a)(b − a) |
|
c −b (c −b)(c +b) + a(c −b) |
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
d −b (d −b)(d +b) + a(d −b) |
|
|
||||||||||||
= (d − a)(c − a)(b − a)(c −b)(d −b) |
|
1 |
a +b + c |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
a +b + d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычитая из второй строки первую, получим |
|
|
|
||||||||||||
|
4 = (d − a)(c − a)(b − a) (c −b)(d −b) |
|
1 |
a +b + c |
|
|
= |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
d −c |
|
|
|
|
||
= ( d −a)(c −a)(b −a) (c −b)(d −b) ( d −c ).
13
1.2. Системы Линейных уравнений. Правило Крамера
1°. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
a x +b y = c |
, |
(1) |
||
1 |
1 |
1 |
|
|
a2 x +b2 y = c2 |
|
|||
по формулам Крамера имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x = x |
|
, |
y = |
|
|
y |
, |
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где = |
|
a1 |
b1 |
|
, |
x = |
|
c1 |
b1 |
|
, |
y = |
|
|
a1 |
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
c2 |
b2 |
|
|
|
|
|
a2 |
c2 |
|
|
|
основной и дополнительные определители системы.
При решении системы могут встретиться три
следующих случая: |
|
|
|
||
а) |
≠ 0 |
— |
система совместна, имеет |
единственное |
|
решение; |
= 0 , |
|
|
x ≠ 0 , или y ≠ 0 |
— система |
б) |
но |
||||
несовместна, не имеет решения; |
|
||||
в) |
= x |
= |
y = 0 — система неопределена, т. е. имеет |
||
бесчисленное множество решений (система сводится к одному уравнению).
2°. Система двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными
a1x +b1 y + c1 z = 0,a2 x +b2 y + c2 z = 0
имеет ненулевые решения, определяемые формулами
x = k |
b1 |
c1 |
, y = −k |
a1 |
c1 |
, z = k |
a1 |
b1 |
, |
||
|
b |
c |
|
a |
2 |
c |
|
a |
2 |
b |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
(3)
(4)
где k— произвольное число.
Если все определители (4) окажутся нулями, то система сводится к одному уравнению.
14
3°. Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
a x +b y + c z = 0, |
|
||
1 |
1 |
1 |
|
a2 x +b2 y + c2 z = 0, |
(5) |
||
a x +b y + c z = 0. |
|
||
3 |
3 |
3 |
|
При решении системы возможны три случая: а) Основной определитель системы
a1 b1 c1
= a2 b2 c2 ≠ 0 . a3 b3 c3
Система имеет только нулевое решение.
б) = 0 , но, по крайней мере, найдется один элемент, минор которого отличен от нуля. В этом случае уравнение, в котором данный элемент является коэффициентом при неизвестной, является следствием двух других уравнений и задача сводится к решению этих уравнений.
Таким образом, задача сводится к решению системы (3) и имеет бесчисленное множество решений.
в) = 0 , и все его миноры равны нулю. В этом случае два уравнения являются следствием одного, т. е. система сводится к одному уравнению с тремя неизвестными, совместна и имеет бесчисленное множество решений.
4°. Система трех линейных неоднородных уравнений с тремя неизвестными
a1x +b1 y + c1 z = d1,a2 x +b2 y + c2 z = d2 ,a3 x +b3 y + c3 z = d3.
При решении возможны три случая:
а) ≠ 0 , система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера аналогично решению (2)
x = x , y = y , z = z .
15