Материал: Презентации лекций какого-то года
Решение уравнения Пуассона для скалярного электрического потенциала :
U 1 |
dv |
||
|
|
V |
|
|
4 |
r |
|
Уравнения Пуассона для проекций векторного потенциала:
|
|
J |
dv |
|
|
J y dv |
Az |
|
J z dv |
|||
Ax |
|
V |
|
x |
Ay |
|
V |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
4 |
r |
|||||||
|
|
4 |
r |
|||||||||
4 |
|
r |
||||||||||
Просуммировав умноженные на орты проекции векторного потенциала, получим решение уравнения Пуассона для векторного потенциала магнитного поля (под интегралом геометрическое
суммирование): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Jdv |
|
|||
|
|
A |
|
|
|
|
|
4 V |
r |
|
|||
|
|
|
|
|||
Интегрирование проводится по всей области (объему), где плотность тока не равна нулю.
Случай линейных проводников с током.
Проводники считаются линейными, когда размеры поперечного сечения проводника намного меньше его
длины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
J |
Если направления векторов |
J |
и |
|
dl |
|
|
||||||||||||||||
dl |
|
совпадают, а ток сквозь любое сечение |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
dv |
r |
проводника одинаков: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Jdv |
|
|
|
Jdsdl |
|
|
idl |
|
|
|
dl |
|
|||||||||
l |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4 V |
|
r |
|
4 l S |
|
r |
4 l |
r |
|
4 l |
r |
|||||||||||
|
|
Если магнитное поле создано несколькими |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
проводниками с токами, то следует интегрировать вдоль |
||||||||||||||||||||||
|
|
всех проводников с токами, тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
A k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все полученные соотношения для определения векторного потенциала справедливы в предположении, что в магнитном отношении среда однородна = const ≠ f(x,y,z) или кусочно - однородна.
Если среда неоднородна, то нельзя выносить за оператор ротора:
rot H rot H
|
|
|
rot H |
grad( ) H |
rot H |
Определение магнитного потока через векторный
потенциал
B rot A
l S
A
|
|
Применим теорему Стокса: |
|
|
||
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||
|
Bds |
rot A ds |
A dl |
|||
dl |
|
S |
S |
|
l |
|
Граничные условия для векторного потенциала
При рассмотрении граничных условий из интегралов по замкнутым контурам для векторов поля мы получали на поверхности раздела сред равенство касательных составляющих векторов. По аналогии можем записать:
A1 = A2
На поверхностях раздела различных сред не изменяются ни нормальные, ни касательные составляющие векторного магнитного потенциала. Это означает, что при переходе из одной среды в другую векторный магнитный потенциал не изменяется ни по величине, ни по направлению.