Требуется определить закон распределения того участка Г*, на который упала точка 5.
Такая ситуация возникает в различных прикладных задачах. Например, пассажир появляется на автобусной остановке в какой-то случайный момент времени, не связанный с расписа нием движения. Требуется найти закон распределения интервала времени между уходом предыдущего автобуса и приходом сле дующего при условии, что пассажир уже стоит на остановке, а поток автобусов является стационарным потоком Пальма. Закон
т> . |
тг , тз |
т* |
|
1 |
Г |
1 |
Т |
|
н-------- |
|
|||||
- — т |
»!" |
* |
J |
— |
1 _ *—®—1 |
|
|
.-------i — 1— |
4 _____1 _ |
|
|||||
Рис. 1.2.1 |
|
|
|
Рис. 1.2.2 |
|
||
распределения интервала времени Г* между появлением двух автобусов, на котором появился пассажир (на который упала точка S), в общем случае не совпадает с законом F(t). Этот на
первый взгляд парадоксальный факт можно пояснить на следу ющем простом примере.
Допустим, что интервал времени Т (в часах) между появле
нием |
двух соседних по |
времени автобусов |
может принимать |
||||
|
Y* |
|
только |
два |
значения: |
/i = 0,8 с |
|
|
|
вероятностью 0,5 и t2 = 0,2 с веро- |
|||||
|
------Н |
|
ятностью 0,5. Тогда на оси 0/ бу- |
||||
t |
--------- •—®----- 1 |
— |
дем иметь поток, в котором с оди- |
||||
|
|
t |
наковой |
частотой |
будут встре |
||
|
Рис. 1.2.3 |
|
чаться длинные (0,8) и короткие |
||||
|
|
(0,2) участки (рис. 1.2.3). |
|||||
|
|
|
Предположим, |
что |
пассажир |
||
|
|
|
появился на |
остановке |
в какой- |
||
нибудь момент времени. Что вероятнее — что он попадет на уча сток длины 0,8 или на участок длины 0,2? Очевидно, первое более вероятно: отрезков 0,8 и 0,2 на оси 0£ в среднем одинаковое коли чество, но отрезок 0,8 длиннее в 4 раза, значит, отрезки 0,8 зани мают на оси в среднем в 4 раза большую протяженность, чем отрезки 0,2; следовательно, вероятность попадания точки 5 на отрезок 0,8 равна уже не 0,5, а 0,8, а вероятность попадания на отрезок 0,2 равна 0,2. На этом простом примере можно убедиться в том, что закон распределения того промежутка, на который попала точка S, в общем случае не совпадает с его априорным
законом распределения.
Решим эту же задачу в общем виде. Пусть априорная функ ция распределения случайной величины Г-интервала между двумя соседними событиями есть F(t), а плотность распределе ния f (t) (если случайная величина Т является дискретной слу
чайной величиной, то плотность распределения может быть вы-
10
ражена через дельта-функцию, о которой подробнее будет сказа но ниже). Найдем плотность распределения /*(/) того интервала Г*, на который случайным образом упала точка 5.
Для этого найдем /* (/) d t — вероятность того, что точка S
попадает на промежуток, длина которого заключена в интервале (/, t + dt). Эта вероятность приближенно равна отношению сум
марной длины таких промежутков на очень большом интервале времени к полной длине интервала. Пусть на очень большом ин тервале уложилось большое число N промежутков. Среднее число промежутков, длина которых лежит в пределах (/, t + dt), равно Nf(t)dt; средняя суммарная длина всех таких промежут ков будет tNf(t)dt. Средняя общая продолжительность всех N промежутков равна mtNy где
со |
го |
|
щ = М [Т \ — { t dF ( / ) = [ tf{t)dt |
(1.2.1) |
|
О6
—математическое ожидание случайной величины Т.
Следовательно:
Г |
(t) dt та Ntf(t) d— = — |
/ (t) dt. |
(1.2.2) |
||
|
Nmt |
mt |
|
||
Это равенство выполняется тем точнее, чем более длитель |
|||||
ный промежуток |
времени |
рассматривается (чем больше N). |
|||
В пределе при N —+оо закон |
распределения случайной |
величи |
|||
ны Г* будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|
— |
/ ( / ) |
при |
/ > 0 ; |
|
|
mt |
|
|
|
(1.2.3)* |
|
/ * ( 0 = |
|
при |
if<0. |
|
|
О |
|
|
||
Можно убедиться в том, что функция f*(t) обладает всеми свой
ствами плотности распределения.
Определим числовые характеристики (математическое ожи дание и дисперсию) случайной величины Т*. Для решения этой
задачи (и ряда задач в дальнейшем) воспользуемся аппаратом характеристических функций. Напомним, что характеристической функцией случайной величины Т называется функция g(x), опре деляемая из выражения
g{x) = M[elJcT] = ^ e“xf(t)dt, |
(1.2.4) |
— ОО |
|
где f(t) — плотность распределения случайной величины Т. Характеристическая функция безразмерна, а ее аргумент х име ет размерность, обратную размерности случайной величины Т.
* Тот же результат можно получить, применяя формулу Бейеса.
11
Напомним следующие основные свойства характеристической функции:
1. Характеристическая функция суммы п независимых слу
чайных величин
7’(«, = 2 ^ |
0 -2 .5 ) |
/=1
равна произведению характеристических функций этих величин:
г<»>(*)=П £*(■*). |
(1-2.6) |
/ = 1
где g i ( x ) — характеристическая функция случайной величины 7V Если складывается п независимых одинаково распределенных
случайных величин с характеристической функцией g (x ), то
£(*)(■*) = (£(■*))"• |
(! -2-*7)5 |
2. Характеристическая функция по модулю не превышает
единицы |
|
k W I < l |
0.2.8) |
для любого X.
3. Для определения числовых характеристик случайной вели чины Т пользуются равенствами
<r(0)=i;
г . ( 0 ) = ( ^ й М Ц = Ш [7 - 1 ;
|
(1.2.9) |
г" (° Н т г ' М ) , . . — ^ |
|
следовательно: |
|
M [ T ] = — ig' (0); |
1 |
^ i n = - ^ ( 0 ) + ( g ' ( 0 ) ) 2- I |
( 1.2. 10) |
|
4. Плотность распределения случайной величины Т выра
жается через ее характеристическую функцию преобразованием Фурье:
f ( t ) = ^ ~ ^ e~itxg(x)dx. |
(1.2.11) |
5. Если случайная величина Т имеет характеристическую функцию gt(x), то случайная величина Y=aT имеет характери стическую функцию gy{x) = gt {ax).
12
Вернемся к решаемой задаче. Найдем характеристическую функцию случайной величины Г* — интервала, на который слу чайным образом упала точка S:
g*(x)= \ eiixf* (t)dt = \ |
el,x- ^ - d t . |
>, |
rn, |
Заметим, что |
|
te itx= — i — e'ltx. дх
В этом случае
g * (x )= —i — |
\ e“x^ - d t = |
— |
(1.2.12) |
|
дх |
J |
nit |
mt |
|
где g(x) — характеристическая |
функция |
случайной |
величи |
|
ны Т — интервала между любыми двумя событиями |
||||
в исходном потоке Пальма; |
|
|
||
/п( — математическое |
ожидание случайной величины Т. |
|||
В соответствии с формулой |
(1.2.10) окончательно |
получим |
||
|
|
|
|
(1-2ЛЗ) |
По формулам (1.2.9), (1.2.10) |
найдем числовые характеристи |
|||
ки случайной величины Т*: |
|
|
|
|
mt*=M[T*] = g'*(0) |
g" (0) |
£ L |
(1.2.14) |
|
|
|
ig' (0) |
щ ~\- mt |
|
Анализируя формулу (1.2.14), видим, что математическое ожидание интервала Т*, на который случайным образом падает точка S, в общем случае всегда больше, чем математическое ожидание произвольно взятого участка Т. Лишь в случае регу лярного потока событий, когда случайные интервалы Т вырожда ются в неслучайные интервалы длительностью rrtt и D j= 0,
математическое ожидание т (* будет равно /«;. Таким образом, указание на то, что случайная точка S попала на какой-то интер вал, как бы увеличивает его среднюю длину по сравнению с тем, как мы оценивали бы ее без этого указания.
Найдем дисперсию случайной величины Т*, для чего перво
начально определим g"*(0):
Г ( 0 ) = |
g"' (0) |
|
—Ш [Г») |
— Ш [ГЗ] _ |
М [ГЗ] |
g\<0) |
“ |
g'A0) ~ |
1М [П |
м [Г] |
|
откуда |
|
|
|
|
|
D [Г*] = |
- g - (0) + (g' |
* |
t (1.2.15) |
||
|
|
|
|
Ttlf |
m: |
13