где М[Г3], М[Т2] — третий и второй начальные моменты случай ной величины Т.
Дисперсия £>{Г*] может быть как больше, так к меньше дис персии Dt.
§ 1.3. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ДО НАСТУПЛЕНИЯ ОЧЕРЕДНОГО СОБЫТИЯ
Рассмотрим на оси Of стационарный поток Пальма и возьмем произвольную точку S, которая случайным образом занимает на
этой оси любое положение (рис. 1.3.1). Как было показано в § 1.2, интервал Г* распределен не так, как любой интервал между событиями. Если интервал Т имел плотность распределе
ния /(/), то интервал Г* имеет плотность распределения /*(/) =
= — f(t). В этом параграфе нас будет интересовать закон рас- m
пределения остатка времени 0 от точки 5 до момента |
наступле |
||||||
XО |
X S |
|
|
ния очередного события при |
|||
|
|
условии, что плотность рас |
|||||
— |
|
пределения f(t) |
интервала Т |
||||
t |
нам |
известна. |
|
|
|||
|
f Т |
9 |
Для решения этой задачи |
||||
|
Рис. 1.3.1 |
|
введем в рассмотрение гипо |
||||
|
|
тезу, |
состоящую |
в том, что |
|||
|
|
|
|
интервал 71*, |
на |
который |
|
упала точка S, принял значение, лежащее на элементарном уча |
|||||||
стке |
(f*, t* + dt*). |
|
|
|
|
|
|
Вероятность |
этой |
гипотезы |
будет |
f*(t*)dt* = ---------dt* |
|||
|
|
|
|
|
|
|
mt |
В предположении, что эта гипотеза имела место, найдем услов ную плотность распределения случайной величины 0^—'Ф(0*| ^*). Так как положение точки S на числовой оси 01 не зависит от
распределения событий в потоке, то нет никаких оснований счи тать какой-либо участок интервала f*, на который упала точка S, более вероятным для положения этой точки, чем другой. Поэто му точка 5 на интервале времени t* будет распределена с рав
номерной плотностью:
_1_ |
при |
О с (О, |
Г), |
*(<Ч п = /* |
при |
&с£0, |
(1.3.1) |
о |
/*). |
Плотность распределения системы случайных величин 0 и Г* будет
/(<*, » ) = / ’ (П<р(«ЧО
14
откуда, учитывая (1.3.1), найдеи
во «о
? (» )= \ f(t*> |
5 /•(< •)? (* Ю Л *. |
— во |
«—во |
Так как согласно формуле (1.3.1) подынтегральная функция отлична от нуля только при /*>Ф, получим
во
? (» )= --\Jвс
СП
— |
/ ( П т ( » Ю ^ * = \ — |
" |
1~-F(b) , |
nit |
J mt |
/я/ |
|
|
О |
|
|
где /•"(/)— функция распределения случайной величины Г:
F ( £ ) = \ f ( f ) d t .
О
Таким образом, плотность распределения остатка времени 0 от случайного момента 5 до момента наступления очередного события будет иметь вид
|
1 — />(») |
при & >0; |
»(&) = |
Щ |
(1.3.2) |
|
О |
при 0 < 0,, |
где mt = M[T] — математическое ожидание случайной величи ны Т — интервала между любыми двумя собы
тиями.
Найдем числовые характеристики случайной величины 0. Для этого определим характеристическую функцию ge (х) случайной величины 0:
Применим |
интегрирование по частям: |
|
|
|||
|
1 —/="(») = |
«; du= — /(&) db; |
|
|
||
|
elbxdb = dv\ |
|
Л Ь х |
|
|
|
|
v = - |
|
|
|||
|
|
|
|
i x |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
J b x |
Л |
ЛЬХ |
g W - 1 |
t |
|
( 1 - ^ W ) |
VI X - + |
\J |
I X /•(»)<*» |
||
mt |
i m t X |
’ |
||||
Lо |
|
о |
|
|
|
|
15
где g (х)— характеристическая функция случайной величины Т.
Учитывая равенства (1.2.9) и (1.2.10), окончательно получим
£»(■*) = |
g(x) — g (0) |
|
xg' |
(1.3.3) |
|
|
(0) |
|
Теперь найдет числовые характеристики случайной величины 0: М[0] и Z>[0]. В соответствии с формулами (1.2.10) и (1.3.3) будем иметь
т,=Л Г[в! = - 1 _ |
д |
/ |
g {х) — 1 |
V) |
— 1 {g ' ( x ) x — g( x Г) + 1 ) |
||
rriti- |
дх |
\ |
х |
) }х=о |
nit I |
X- |
Jд-=0* |
|
|
|
|
|
|
|
(1.3.4) |
При подстановке в (1.3.4) величины * = 0 получается неопреде-
ленность вида — . Для раскрытия этой неопределенности вос
пользуемся правилом Лопиталя:
m = |
____L a m |
g ” (*)x + g ' ( x ) - g ' (х) = |
g" (0) |
0 |
mt х-+о |
2х |
2mt |
Но в соответствии |
с (1.2.10) |
|
|
||
- |
ё" (0) = |
а2 [Г] = М [Т2]- Dt4- ml |
|
||
откуда окончательно получим |
|
|
|||
m n = |
— |
Dt |
E L |
(1.3.5) |
|
2mt |
|||||
[см. (1.2.14)]. |
2 |
Щ . |
|
||
|
|
|
|
||
Следовательно, математическое |
ожидание остатка |
времени 0 |
|||
всегда не меньше, чем половина математического ожидания лю бого интервала между событиями в стационарном потоке Пальма.
Для нахождения дисперсии интервала времени 0 до наступ ления очередного события нужно найти вторую производную характеристической функции gо (х):
_}__g" (х)х°- — 2xg' (х) + 2g (х) — 2
g'o(x) = mni |
.v:i |
|
|
Раскрывая неопределенность, которая получается при X — 0, |
|||
получим |
|
|
|
g ’"(0) _ |
М\т-} |
(1.3.6) |
|
?>mti |
3/»( |
||
|
|||
откуда (см. (1.2.10)] дисперсия случайной величины 0 будет
М |Г>) |
Ш [72)Р |
(1.3.7) |
£>[*]=-е1(0)+(еЦ0)Г |
Im, |
|
3/П/ |
|
1G
Нами рассматривалась случайная величина 0 — интервал между точкой S и первым наступившим после точки S событи ем. Аналогичные рассуждения можно провести относительно случайной величины Н — интервала между последним наступив шим событием в прошлом и точкой S (см. рис. 1.3.1.) Закон распределения случайной величины Н будет таким же, как и слу чайной величины 0. Случайные величины 0 и Н в общем случае будут зависимыми. При этом всегда будет выполняться условие
н+е=г*
§ 1.4. ПУАССОНОВСКИЙ ПОТОК СОБЫТИЙ
Среди потоков событий особое место занимает так называе мый «пуассоновский поток», обладающий, по сравнению с дру гими, рядом замечательных свойств, существенно облегчающих решение прикладных задач теории массового обслуживания.
|
|
|
т |
|
4-*-* |
- + |
t |
и |
t |
о |
t о |
|||
Рис. 1.4.1 |
|
Рис. |
1.4.2' |
|
Пуассоновским потоком событий называется поток, обладаю
щий двумя свойствами — ординарностью и отсутствием после действия. Понятие ординарности было рассмотрено в § 1.1. Здесь поясним смысл термина «отсутствие последействия».
Поток называется потоком без последействия, если для лю бых двух неперекрывающихся участков Tj и т2 (рис. 1.4.1) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколь ко событий попало на другой.
Обозначим случайное число событий, наступивших на ин
тервале времени ть |
через Х\ и на интервале времени т2— че |
рез Х2. Для потока |
без последействия случайные величины Х{ |
и Х2 независимы, т. е. вероятность того, что на участке т2 насту
пит определенное число событий т 2, не зависит от того, сколько событий гп\ наступило на участке времени х\:
P (X 2 = m2\ X l= m l)= P ( X 2~ m 2) |
(m2= 0, 1 , 2, . . . ; |
m2 = 0, 1,2 .. .) . |
(1.4.1) |
В курсах теории вероятностей доказывается, что для пуассонов ского потока число событий X, попадающих на любой интервал длины т, примыкающий к точке t (рис. 1.4.2), распределено по
закону Пуассона:
Pt .(X = m) = (a^ ' ^ |
(1.4.2] |
/71!
17
где |
|
|
|
|
a(t, т)— среднее число событий, наступающих на |
интерва |
|||
|
|
ле времени т, примыкающем к моменту времени t. |
||
Поэтому поток и называется «пуассоновским». |
|
|||
Среднее |
число событий, наступающих |
в единицу |
времени, |
|
для |
любого |
ординарного потока равно |
интенсивности |
потока |
K(t). |
Следовательно, среднее число событий, наступающих на |
|||
интервале времени т, примыкающем к моменту времени t, будет
равно
/ +•5 |
|
a(t, т )= J |
(1.4.3) |
t |
|
Если пуассоновский поток событий является стационарным [k{t) =Х = const], то величина а не будет зависеть от t:
14-т |
|
а (t, т)= а (т )= ^ \ d t = \ т. |
(1-4.4) |
В этом случае вероятность того, что на произвольно выбранном участке времени продолжительностью т наступит т событий, оп
ределяется по формуле
Р т (Х = т) = -Ш£- « -Ч |
(1-4.5) |
ш\
Стационарный пуассоновский поток событий часто называют простейшим потоком. Так он назван потому, что применение
простейших потоков событий при анализе различных систем _ массового обслуживания при-
*водит к наиболее простым ре шениям.
Найдем закон распределе
ния интервала времени Т меж
ду двумя любыми соседними событиями в простейшем потоке (рис. 1.4.3). Вероятность того, что на участке времени t, следую
щем за одним из событий, не появится ни одного события [см. (1.4.5)], будет
p / (Jf = 0) = e - x< <*>.
Но эта вероятность равна вероятности того, что случайная вели чина Т будет больше величины t. Следовательно:
P ( T > t ) = e - “,
Вследствие отсутствия последействия наличие события в начале участка
не оказывает влияния на вероятность появления того или другого числа событий на самом участке.
18