откуда
F (t) = P(T < /) = 1 —Я (Г > /) = 1 —е~х‘ ( / > 0 ) , (1.4.6)
где F(t) — функция распределения случайной величины Т.
Дифференцируя (1.4.6), получим плотность распределения слу чайной величины Т:
= (* > 0). (1.4.7)
Таким образом, в простейшем потоке интервал времени меж ду любыми двумя соседними событиями распределен по показа тельному закону с параметром А,. Вследствие отсутствия после
действия все интервалы между соседними событиями представ ляют собой независимые случайные величины. Поэтому простей ший поток представляет собой стационарный поток Пальма. Он отличается тем, что интервалы времени между соседними собы
тиями |
распределены ло ло- |
|
* |
|
|
|
|
казательному закону. |
|
, 9 |
------ -— - |
|
|
||
Рассмотрим на |
оси 0/ |
1 © |
г |
* |
» |
||
простейший поток и точку S, |
0 |
\л |
в |
|
* |
||
случайным образом |
падаю |
|
Рис- 1АА |
|
|
||
щую на эту ось. Найдем за- |
|
|
|
||||
кон |
распределения |
того |
|
|
|
|
|
участка Г*, на который упала точка S |
(рис. 1.4.4). Воспользуем |
||||||
ся результатами, полученными в § 1.2. В соответствии с (1.2.3) плотность распределения случайной величины Г* будет
r { t ) = — f{t) = \2te~xt ( i > 0). |
(1.4.8) |
Такой закон называется законом Эрланга 1-го порядка. Число вые характеристики интервала времени Т* будут [см. (1.2.14) и
(1.2.15)]
(М[Н])2
; |
D [Г*] = |
/71/ |
/71/ |
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Т —
интервала между любыми двумя событиями в простейшем пото ке, равны
mt= ^ fke~ud t= - y - ; |
(1.4.9) |
|
о |
|
|
сс |
|
|
о , “ $ (* - т )2 |
= i r |
( 1-4 -10) |
о 4 |
|
|
19
Таким образом:
2 |
(1.4.11) |
|
х |
||
; |
||
_2_ |
(1.4.12) |
|
Д [ П = ^ |
||
Х2 |
|
Сравнивая величины М[Г,:] и mty а также D[T*] и Dt, видим,
что наличие случайной точки S на интервале как бы «раздвига ет» его, увеличивая математическое ожидание и дисперсию вдвое.
Найдем закон распределения интервала времени 0 между точкой S и первым наступившим после точки S событием (см. рис. 1.4.4). В соответствии с формулой (1.3.2) имеем
ер ({)) = - ~ ^ (&) = 1 ~ (1 ~ g~ ~ ^ |
( & > 0 ) . (1.4.13) |
Сравнивая выражение (1.4.13) с выражением для плотности распределения интервала Т между любыми двумя событиями
(1.4.7), убеждаемся в том, что случайная величина 0 распреде лена так же, как и случайная величина Т.
Это замечательное свойство простейшего потока является другой формой проявления свойства отсутствия последействия. Это свойство означает, что любая сколь угодно подробная ин формация о том, как себя вел поток в прошлом (до произволь ной точки S), не дает нам никаких сведений о том, что произой дет после этой точки. Другими словами, будущее развитие про цесса появления точек не зависит от того, как этот процесс про текал в прошлом. Данное свойство намного облегчает исследо вание различных задач, связанных с анализом потока событий.
Вычислим характеристическую функцию интервала между двумя соседними событиями в простейшем потоке с парамет ром X:
со со
g (х) = [ е1и1е-иШ = —^— |
[ (к- i x ) е- < |
* - (1.4.14) |
|
J |
X— ix |
J |
X— ix |
о |
|
О |
|
В последующем изложении будем опираться на это выражение, утверждая, что поток Пальма является простейшим, если харак теристическая функция интервала между соседними событиями
равна -----Это утверждение основывается на однозначности
I X
связи между характеристической функцией и плотностью распре деления.
20
§ 1.5. ДРУГИЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПОТОКИ ПАЛЬМА
1. Регулярный поток событий
Регулярный поток представляет собой последовательность событий, разделенных строго одинаковыми интервалами (рис. 1.5.1). Плотность распределения интервала между любыми событиями может быть представлена в виде
|
|
f(t)= b{t —mД |
|
|
|
(1 5.1) |
||
где |
6(т) — известная дельта-функция. |
|
|
|
|
|||
|
Напомним основные свойства дельта-функции: |
|
|
|
||||
|
0-иг |
|
|
|
щ |
|
|
|
|
1. j ср (т)о (т )^ = ср(0), (1.5.2) |
|
щ |
• |
т\ , |
|||
|
|
|
||||||
|
0 - г |
|
|
|
IV ; |
|
‘J |
ч t |
где |
ср (т)— любая |
функция, |
не |
0 |
|
|||
прерывная в точке т = 0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
В выражении |
(1.5.2) величина |
|
Рис. 1.5.1 |
|
|
||
е может быть любым положи |
|
|
|
|
|
|||
тельным числом. В частности, |
если |
ф(т) = |
1, то получим |
|
||||
0+£
} 8 0 0 ^ = 1 .
2. |
6(т) = 0 при тфО. |
(1.5.3) |
3. |
тб(т) = 0 . |
(1.5.4) |
Так как интервал между соседними точками строго постоянен
и равен /П/, то, очевидно, что математическое |
ожидание этого |
интервала равно mt, а дисперсия |
|
Dt= 0. |
(1.5.5) |
Для нахождения плотности распределения интервала, на ко торый случайным образом падает точка S (см. рис. 1.5.1), вос пользуемся соотношениями (1.2.3), (1.5.1) и (1.5.4):
Г ( 0 = — |
/ ( / ) = — о(/ — т,) = 1~ щ + т‘ 8 ( / - т,) = 8(/-,»,). |
|
?nt |
mt |
mt |
|
|
(1.5.6) |
Таким |
образом, наличие |
случайной точки S на каком-либо |
из интервалов между соседними событиями не изменяет закона распределения этого интервала: интервал остается по-прежнему неслучайным и равным mt.
Найдем закон распределения времени 0 от случайной точки S до наступления очередного события. На основании выражений
(1.3.2) |
и (1.5.2) |
получим |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
1— F(b) |
1 — \ l(t — mt)dt |
(— |
при |
0 с: (0, т,); |
|
<?(0) = |
о__________ |
|||||
J mt |
|
|
||||
|
гщ |
mt |
( 0 |
при |
0ф(О, т Д |
|
|
|
|
21
где •&<=((), mi) |
означает |
выполнение |
неравенства |
а выражение |
mi) |
означает, что |
или Ф^О. Таким |
образом, случайная величина 0 распределена по закону равно мерной плотности на интервале (0, mt). Найдем числовые харак
теристики случайной величины 0 [см. (1.3.5), (1.3.7) (1.5.5)]:
ть |
mt |
| |
Dt _ |
mt |
(1.5.8) |
|
2 |
‘ |
2m t |
2 |
|||
|
|
|||||
D[6] |
m] |
|
(rnty |
^ m] |
(1.5.9) |
|
%mt |
|
4m2t |
12 |
|||
|
|
|
Характеристическая функция интервала между соседними событиями в регулярном потоке будет иметь вид [см. (1.2.4), (1.5.2)]
g (x )= M [ e IJlT] = j |
elixb{t-rnt) d t= e lm<x |
(1.5.10) |
— |
no |
|
Регулярный поток событий сравнительно редко используется при решении прикладных задач теории массового обслуживания. Это объясняется тем, что такой поток событий обладает очень большим («неограниченным») последействием, так как, аная лишь один момент наступления события в регулярном потоке, можно восстановить все прошлое этого потока и предсказать все его будущее.
2. Нормальный поток событий
«Нормальным потоком» будем называть поток Пальма, для которого интервалы между событиями распределены по нормаль ному закону:
Заметим, что, строго говоря, интервал между событиями не может быть подчинен нормальному закону, так как он представ ляет собой не отрицательную величину, а область определения нормального закона (—оо, + оо). Однако если границы практи чески возможных значений случайной величины не выходят за пределы положительной области, например, выполняется условие
mt> 3=>„ |
(1.5.12) |
то можно считать интервал распределенным нормально (вероят ность отрицательных значений практически равна нулю).
22