РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР
СООБЩЕНИЯ ПО ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ
УДК 519.685
ПРИНЦИП МИНИМУМА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДОХОДА НА ПРОИЗВОЛЬНОМ ОДНОПЕРИОДНОМ РЫНКЕ
Г.А. Агасандян
Ответственный редактор
доктор техн. наук Ф.И. Ерешко
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР РАН
МОСКВА 2006
В работе рассматривается построение квазиоптимального портфеля инвестора для произвольного однопериодного рынка. Методика, развитая автором ранее, обобщается на случай, когда инвестор дает лишь частичный прогноз вероятностных свойств рынка. Для нахождения такого портфеля применяется уже апробированный для опционного рынка принцип минимума относительного дохода. Методика основана на параметризации прогнозного распределения вероятностей выделенных сценариев стохастической динамики рынка. Как обычно, при использовании многоступенчатого критерия VaR рисковые предпочтения инвестора задаются возрастающей функцией критических доходов. Строится вычислительный алгоритм и приводятся результаты численных примеров.
Рецензенты: В.Е. Кривцов, Ю.А. Флеров
Научное издание Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, 2006 квазиоптимальный инвестор однопериодный рынок
Работы автора [1-10] посвящены исследованию моделей оптимального поведения инвестора на финансовых однопериодных рынках. В них предполагается, что инвестор обладает собственным представлением относительно вероятностных свойств будущей цены лежащего в основе опционов (базового) актива. Инвестор также характеризуется своими рисковыми предпочтениями, задаваемыми возрастающей функцией критических доходов. Именно на основании этой функции инвестор формирует и использует свой индивидуальный континуальный (или многоступенчатый) критерий VaR.
В первых работах [1-7] алгоритмы нахождения оптимального (или квазиоптимального в случае дискретной модели) портфеля строились для рынка опционов, при этом в [6] моделировалась и изучалась ситуация, когда инвестор строит лишь частичный прогноз опционного рынка. В работах [8-10] предлагается обобщение основной модели опционного рынка на случай однопериодного рынка достаточно произвольной природы. В настоящей работе делается попытка совмещения идей упомянутых работ [6] и [8-10], т.е. рассматривается проблема построения квазиоптимального портфеля инвестора с частичным прогнозом будущего поведения рынка на однопериодном рынке произвольной природы. Этот портфель мы далее будем называть просто оптимальным.
Оглавление
1. Предположения модели управления портфелем
2. Оптимальный портфель инвестора и принцип минимума относительного дохода
3. Иллюстративный условный пример
4. Пример: инвестор прогнозирует волатильность рынка
Литература
1. Предположения модели управления портфелем
Вкратце напомним предположения модели управления портфелем, рассмотренной в работах [8-10], а затем введем в нее необходимые дополнения. Рассматривается однопериодный рынок, на котором торгуют n элементарными финансовыми инструментами. В это число не включаются инструменты, являющиеся комбинациями (портфелями) этих элементарных инструментов. Как обычно, мы будем пренебрегать трансакционными издержками. Функционирование рынка подчинено действию ряда случайных факторов. Их различные сочетания называются сценариями, которые являются выборочными точками, вообще говоря, многомерного пространства факторов. Реализация любого сценария приводит к получению инвестором определенного дохода по каждой из рассматриваемых ценных бумаг. Множество всех сценариев обозначается .
Истинное распределение вероятностей на этом множестве (если о наличии такового имеет смысл говорить) не известно. Однако понятно, что оно некоторым образом проявляется в доходах по ценным бумагам и их ценах. При этом в ценообразовании инструментов играют немаловажную роль и субъективные факторы, которые привносят искажения в справедливые цены.
Предполагается, что инвестор имеет собственное представление относительно распределения вероятностей в пространстве . Как и в [8-10], инвестор некоторым образом будет строить разбиение пространства сценариев на n подмножеств и в соответствии со своим прогнозом приписывать им вероятности. Предположение о совпадении количеств элементов во множествах I и существенно для реализации алгоритма, так как оно, во-первых, позволяет провести необходимый анализ, а во-вторых, не ограничивает общности, так как выбор множества находится в распоряжении инвестора. В дальнейшем множества I и будем отождествлять.
Как обычно, рисковые предпочтения инвестора задаются в форме непрерывной возрастающей функции критических доходов. Однако применительно к рассматриваемому дискретному случаю будут использоваться лишь ее значения в дискретном множестве точек, хотя заранее и не известно, в каком именно.
На рынке выделяются так называемые элементарные ценные бумаги si, iI = {1, 2, …, n}, никакая из которых не представима в виде линейной комбинации остальных. Стоимость произвольного инструмента w обозначается |w|. Стоимости |si| всех элементарных инструментов si заданы, при этом |si| = mi, iI.
Длинная позиция по инструменту si в количестве одного экземпляра порождает случайный доход yi. При реализации сценария j эта позиция дает доход si(j) = yij. Для матрицы этих доходов, имеющей размерность nn, используется обозначение
Y = ||yij||, iI, j=I.
Почти все формулируемые далее свойства касаются переменных, рассматриваемых, как правило, на множестве I, и в случае, когда у переменной присутствует индекс и не оговорено иное, автоматически принимается, что он пробегает все множество I, и потому включение iI опускается. Равным образом опускается это включение, когда речь идет о суммировании. При условии, что выражение содержит более одного индекса, указывается лишь, по какому индексу ведется суммирование.
Инструмент называется базисным, если он дает единичный доход при реализации лишь одного сценария и нулевой доход - при остальных. Всего в нашей конструкции могут существовать n базисных инструментов. Базисный инструмент, который дает единичный доход при реализации именно сценария i, обозначается ыi. Как показано в [10], воспроизведение (репликация) базисных инструментов на основе n элементарных инструментов si производится по следующему правилу.
Если представить ыi в виде портфелей элементарных инструментов
ыi = jI zij sj (1)
и использовать обозначение векторного инструмента
ы = (ы1, ы2, …, ыn), (2)
то совокупность n представлений (1) можно записать в матричной форме:
ыT = Z sT, Z = ||zij||, Z Y = E.
где E - единичная матрица.
При условии, что у матрицы Y существует обратная,
Z = Y-1 (3)
и потому ыT = Y-1sT. (4)
Из цен mi элементарных инструментов si с использованием (3) определяются цены всех базисных инструментов ыi. Вводя вектор c = (c1, c2,…, cn), находим
ci = |ыi| = jI mj yij(-1).
Это соотношение в матричной форме принимает вид
cT = Y-1mT. (5)
После умножения всех этих цен на один и тот же нормирующий множитель
rrf = 1/j cj, (6)
называемый наведенным безрисковым относительным доходом, получаются так называемые наведенные вероятности сценариев, образующие вектор
c = rrf c. (7)
Сумма компонент этого вектора уже равна 1. Параметр rrf показывает, какая безрисковая доходность может быть достигнута на рынке за рассматриваемый период времени. Обычно на реальном рынке параметр rrf должен быть слегка выше 1.
В векторе c (а также в его нормированном аналоге c) проявляются совместные интересы и действия всех участников рынка, и именно с его помощью инвестор тестирует свои представления о вероятностных свойствах сценариев, выбирает стратегию своего поведения на рынке и строит на основе этого представления оптимальный для себя портфель элементарных инструментов.
Все изложение до настоящего момента практически полностью повторяло содержание работ [8-10]. Но теперь, когда мы приступаем к описанию прогноза вероятностных свойств рынка, принятого инвестором, нам потребуется ввести некоторые коррективы. Как говорилось во введении к настоящей работе, инвестор в рассматриваемой модели ограничивается лишь частичным вероятностным прогнозом. Имеется в виду, что инвестор, будучи уверенным лишь в части свойств распределения на множестве сценариев, именно относительно этой части и строит свои предсказания. В остальном же он следует за тенденциями рынка, полностью ему доверяясь. Такой подход применительно к опционному рынку был изложен в работе [6]. Там же для решения задачи в этой постановке был предложен подход, связанный с критерием минимума дохода. К его применению мы обратимся далее в п. 2. Наша задача состоит в распространении этого подхода на рассматриваемую модель рынков.
Формализуем представление инвестора о вероятностных свойствах рынка и его рисковые предпочтения. Введем параметр , который будет отвечать за всю неопределенность предсказания инвестора. Будем считать, что прогноз инвестора задается однопараметрическим вектором вероятностей на множестве сценариев
d() = (d1(), d2(),…, dn()), , (8)
где - множество возможных значений параметра . В принципе, и сам параметр также может быть вектором.
В работе принимается, что множество конечно. Нет смысла в качестве рассматривать континуальное множество в модели, которую мы и так уже сделали достаточно огрубленной в том, что касается сценариев. Тем более что в параметре сосредоточены характеристики инвестора, затрагивающие психологическую сторону его поведения, и здесь рассчитывать на получение точных результатов не приходится.
Итак, свой прогноз инвестор формирует с точностью до неизвестного параметра . Процедура, рассмотренная в [8-10], требует для нахождения оптимального портфеля инвестора сопоставлять введенный вектор (8) с вектором (7) либо с вектором (5). Поэтому многие из вводимых в следующем разделе привычных агрегатов оказываются зависящими от .
Рисковые предпочтения инвестора, как и в работах [1-10], описываются монотонно возрастающей функцией критических доходов
Bcr(), [0, 1].
Требуется, чтобы для всех [0, 1] выполнялись неравенства
,
где Pt{E} - вероятностная мера события E с точки зрения инвестора, R - случайный доход от инвестиции. При этом предпочтение отдается меньшим значениям , т.е. удовлетворять эти неравенства нужно, начиная с = 0 и продвигаясь в сторону все больших значений по возможности вплоть до = 1.
В данной работе, как это часто делалось и ранее, мы будем проводить все формальные построения, не задавая изначально инвестиционной суммы инвестора, полагая для упрощения, не являющегося излишне ограничительным, что рисковые предпочтения инвестора не зависят от масштаба инвестиции. Поэтому результат, получаемый далее в терминах доходности, является универсальным для данного инвестора вне зависимости от его изначальной суммы. В противном случае возможны разные постановки задачи, и о них уже подробно говорилось ранее, например, в работе [10].
2. Оптимальный портфель инвестора и принцип минимума относительного дохода
Рассмотрим процедуру построения оптимального портфеля инвестора и уточним, как на ней сказывается неопределенность прогноза инвестора, и как ее следует учитывать. Как и ранее, она проводится по методу Неймана-Пирсона и начинается с построения отношения правдоподобия (см., например, [11]). Вводится семейство (по ) векторов
l() = (L1(), L2(), …, Ln()), Lj() = cj/dj(), (9)
и для каждого все сценарии из множества I упорядочиваются по убыванию этого отношения.
Для всех вводится вектор () = ((1,), (2,),…, (n,)), где (1,) означает сценарий с максимальной компонентой вектора l(), (2,) - сценарий со второй по величине компонентой l() и т.д., наконец, (n,) - сценарий с минимальным значением отношения l(). (Если две компоненты совпадают, то выбор порядка для них произволен.) Фактически, () определяет взаимнооднозначное отображение (подстановку) множества I на себя, отвечающее устанавливаемому отношением (9) и зависящему от порядку во множестве I.
Отображение () мы также будем задавать с помощью матрицы (), определяемой условием
() = ||ij()||, ij() = 1 при j = (i,) и 0 в иных случаях, i,jI. (10)
Представление отображения () в виде матрицы более удобно при проведении матричных преобразований.
Напомним, что для произвольного вектора a длины n вектор, заданный матричным произведением aT (a T), означает (каким бы ни было значение ) такую перестановку компонент вектора aT (a), при которой в новом векторе компоненты приобретают порядок, соответствующий порядку убывания на векторе l() отношения правдоподобия (если j = (i,), то его j-я компонента перемещается на место i). Так, наряду с векторами (8) для каждого рассматриваются и векторы
d() = (d(1,)(), d(2,)(),…, d(n,)()) = d() ()T,
определяющиеся переупорядочиванием компонент векторов d(), соответствующим порядку убывания отношения правдоподобия.
Теперь переходим непосредственно к построению портфеля инструментов, наилучшим образом отражающим интересы инвестора. Процедура является дискретным аналогом той, которая применялась в [1-7] для континуального случая. В соответствии с (9) и (10) для каждого строится система подмножеств Xk множества I по правилу