Xk() = {о(1,), о(2,),…, о(k,)}, kI.
Поскольку каждому сценарию j инвестор приписывает вероятность dj(), то множествам Xk() будут отвечать вероятности
еk() = Pt{Xk()} = jk d(j,) = jkdj(), (11)
объединяемые в вектор е().
Вводится вектор критических доходов инвестора
b() = (B1(), B2(),…, Bn()), (12)
где Bk() = Bcr(еk()), kI. (13)
Фактически, компоненты этого вектора являются аппроксимацией функции критических доходов инвестора в точках k, представимых в виде суммы вероятностей k сценариев, отвечающих наибольшим k значениям отношения правдоподобия.
Напомним идею такого построения и произведем необходимые изменения с учетом параметра неопределенности . Каждому множеству сценариев Xk ставится в соответствие его "индикатор", являющийся инструментом, представимым в виде суммы базисных инструментов jk ы(j,). Затем "оптимальный" инструмент g() инвестора строится в виде комбинации этих "индикаторов" с коэффициентами, определяемыми критическими доходами (13), и в результате получается его окончательное представление
g() = j Bj() ы(j,). (14)
Таким образом, предпочтениям инвестора отвечает взвешенная сумма инструментов ыj c весовыми коэффициентами, лежащими на графике функции критических доходов инвестора Bcr(). Чем круче растет функция Bcr() при приближении к = 1 и, стало быть, последовательность Bk() с ростом k, тем в большей степени инвестор для увеличения своего дохода готов идти на риск, и наоборот.
Используя векторные представления (2) для ы() и (12) для b(), а также матричное представление (10) для оператора подстановки (), инструмент g(), задаваемый равенством (14), представим в матричной форме
g() = b() () ы()T.
С помощью соотношения (4) этот инструмент можно задать в виде комбинации исходных элементарных инструментов sj:
g() = b() () Y-1 sT.
Итак, оптимальным портфелем инвестора является скалярное произведение
g() = g() sT, (15)
где g() = b() () Y-1, (16)
при этом каждая компонента этого вектора означает количество соответствующего элементарного инструмента, которое инвестору необходимо приобрести (продать, если компонента отрицательна).
Теперь вычисляются все основные финансовые характеристики оптимального инструмента: его стоимость, средний доход инвестора (с его собственной точки зрения) и средний относительный доход (1 плюс доходность) от инвестиции.
Стоимость оптимального инструмента получается простой заменой в правой части равенства (15) (с учетом (16)) вектор инструментов s на вектор стоимостей m. Получаем
A() = |g()| = b() () Y-1 mT = g() mT. (17)
Средний доход инвестора R() при условии, что он вычисляется в соответствии с его собственным представлением о вероятностных свойствах рынка, т.е. для вероятностного вектора на множестве сценариев d(), и для произвольного параметра , согласно процедуре Неймана-Пирсона и с учетом представления оптимального инструмента (14) должен определяться из соотношения
R() = j Bj() d(j,)() = j Bj()dj()
или в матричной форме R() = b() () d()T = b()d()T. (18)
В результате относительный средний доход, как раз и характеризующий доходность вложения, получается делением среднего дохода (18) на инвестиционную сумму, совпадающую со стоимостью оптимального инструмента (17). Окончательно имеем
r() = R()/|g()| =(b()d()T)/(g() mT).
Величина r() не может быть меньше значения rrf, получаемого по формуле (6). Но поскольку обычно rrf > 1, то и r() будет превышать 1, притом для всех .
Нам остается устранить неопределенность, отраженную в параметре . Как уже было сказано выше, эта проблема подробно обсуждалась в [6] при рассмотрении аналогичной задачи специально для опционного рынка. В той работе для выбора параметра инвестору рекомендовалось использовать принцип минимума относительного дохода. Напомним, что инвестор при применении такого принципа страхует себя от неоправданного завышения дохода, проистекающего вследствие неправильного выбора параметра , в значении которого инвестор не был изначально уверен.
Учитывая сказанное, мы приходим к выводу, что в отсутствие дополнительной информации оптимальным для инвестора должен быть выбор такого значения параметра , при котором ropt() принимает минимальное значение. Итак
opt = argmin r(),
ropt = r(opt).
Замечание. Следует обратить внимание на различие между использованием принципа минимума относительного дохода в настоящей работе и в работе [6]. В работе [6] основой для исследования служила теоретическая континуальная схема, когда параметр е пробегал все множество чисел из отрезка [0,1] (хотя в конкретных примерах рассматривались и дискретные распределения вероятности). Поэтому в ней, фактически, средний доход от инвестиции был постоянным и равным
, (19)
а различие инвестиционных альтернатив проявлялось в инвестиционных суммах. В данной же работе подобного постоянства среднего дохода в силу дискретности схемы может и не быть - при расчете R() для всех получаются несколько разные значения, как если бы мы подсчитывали разные интегральные суммы для одного и того же интеграла (19). Тем не менее на приводимых ниже примерах легко обнаруживается, что различие в R() по незначительно в сравнении с различием в стоимости A() оптимальных инструментов инвестора.
3. Иллюстративный условный пример
Рассмотрим рынок, на котором обращаются всего 5 инструментов. В связи с этим ограничиваем пространство сценариев также только 5 элементами. Допустим, что доходы от пяти инструментов для каждого сценария определяются матрицей
Y = .
Пусть также стоимости этих инструментов образуют вектор
m = (2.256, 1.892, 1.626, 1.544, 1.213).
Построение на основе вектора m вектора цен базисных инструментов согласно (5) дает
c = (0.06, 0.26, 0.31, 0.24, 0.08). (20)
В случае с реальным рынком все компоненты вектора с должны быть положительны, иначе возможен арбитраж. Поэтому при построении иллюстративного примера удобнее действовать в обратном направлении - сначала задавать вектор с, и уже по нему строить вектор m - иначе трудно гарантировать положительность вектора с.
Предложим теперь формальное описание предсказанных инвестором вероятностных свойств рынка. Как мы условились, прогнозом будет не единственный вероятностный вектор на множестве сценариев, а семейство вероятностных векторов по параметру .
Рассмотрим два вспомогательных вектора
d' = (0.06, 0.35, 0.27, 0.24, 0.08), d" = (0.0, -0.1, -0.1, 0.2, 0.0).
Они подобраны так, что сумма компонент первого вектора равна 1, а второго - нулю. Теперь семейство векторов d() зададим в виде
d() = d' + d",
где принимает целые значения от 1 до 5 включительно, т.е. мощность множества равна 5. В результате получаем семейство (по ) вероятностных векторов
d() = . (21)
Для описания рисковых предпочтений инвестора в соответствии с развитой ранее теорией надлежит задать растущую функцию критических доходов. В ее качестве рассмотрим, например, функцию
Bcr() = 2, [0,1], (22)
что будет говорить об определенной склонности инвестора к риску.
В соответствии с разработанной ранее методикой необходимо применить процедуру Неймана-Пирсона, для чего требуется построить покомпонентное отношение векторов c и d(), т.е. соотнести (20) и (21). Получается семейство векторов (прямоугольная матрица размером 55)
l() = .
По нему строится семейство отображений () (также матрица размером 55). Имеем
= .
В силу громоздкости семейство матриц подстановки (), которое однозначно строится по семейству (), мы здесь не приводим, хотя в последующих расчетах удобнее использовать именно матрицы ().
Далее определяется семейство векторов предпочтений b(). Компоненты этого вектора находятся из (11) и (13). Сначала определяется скорректированный с учетом преобразования векторd. Имеем в матричной форме
d() = d T.
Проделывая вычисления, находим
d() = .
Далее находится семейство векторов (), k-я компонента которых k() определяется по формуле (11):
() = .
Используя теперь формулу (13) и учитывая (22), находим семейство векторов рисковых предпочтений
b() = .
На основании полученной информации мы уже можем определить оптимальный портфель инвестора и найти его финансовые характеристики. Семейство векторов, компоненты которых являются весами элементарных инструментов в оптимальном портфеле, определяется матрицей
g() = . (23)
Наконец, для каждого последовательно находятся стоимости инструментов, их доходы и доходности вложения. Все эти финансовые характеристики собраны в матрице
.
В 1-м столбце матрицы представлены значения , во 2-м - стоимости A() = |g()|, в 3-м - доходы от инвестиции R(), и в 4-м - относительные доходы r(). Следуя принципу минимума относительного дохода, заключаем, что оптимальное вложение для инвестора дается параметром = 3, при этом относительный доход равен 1.21, что, как и должно быть, превышает rrf. Стоимость оптимального инструмента |g| = 0.405, а средний доход (с точки зрения самого инвестора) Ropt = 0.489, а сам оптимальный портфель определяется 3-й строкой матрицы (23):
g() = -2.74s1 + 6.76s2 - 4.04s3 + 3.28s4 - 3.86s5.
4. Пример: инвестор прогнозирует волатильность рынка
В предлагаемом примере инвестор имеет свое представление относительно будущей волатильности рынка, однако в том, что касается направления его движения, он готов солидаризироваться с превалирующими на рынке тенденциями. Эта проблема часто возникает, например, перед опционными трейдерами (см. [12]).
Пусть на рынке обращаются 8 инструментов, которые можно рассматривать как элементарные. В соответствии с методикой инвестор строит пространство сценариев из 8 элементов. Примем, что доходы от этих инструментов для каждого сценария определяются матрицей
Y = .
Допустим, что стоимости этих инструментов образуют вектор
m = (1.67, 1.96, 2.31, 2.60, 2.60, 2.31, 1.96, 1.67).
Этому вектору соответствует вектор цен базисных инструментов
c = (0.082, 0.108, 0.132, 0.158, 0.157, 0.133, 0.107, 0.083).
Сумма его компонент равна 0.96, поэтому rrf = 1.042. Вновь для обеспечения положительности всех компонент вектора c мы задавали сначала его, а по нему уже находили вектор m.
Допустим теперь, что инвестор предсказывает вероятностные свойства рынка следующим образом. Как мы условились, его прогнозом должен быть не единственный вероятностный вектор на множестве сценариев, а семейство по некоторому параметру . Будем считать, что пространство содержит всего 5 элементов. Рассмотрим базовый вспомогательный вектор
d' = (0.11, 0.12, 0.13, 0.14, 0.14, 0.13, 0.12, 0.11)
с суммой компонент, равной 1. Он служит одним из векторов семейства векторов d(). остальные 4 вектора этого семейства получаются вращением базового вектора влево и вправо на 1 и 2 позиции. Именно эта процедура должна отразить индифферентность инвестора в отношении того, куда будет в среднем двигаться рынок. В результате получаем
d() =.
В качестве функции, описывающей рисковые предпочтения инвестора, примем ту же функцию, что и в примере из предыдущего раздела, т.е.
Bcr() = 2, [0,1], (24)
Это представление вновь говорит об определенной склонности инвестора к риску. Теперь применяем процедуру Неймана-Пирсона, для чего требуется построить покомпонентное отношение векторов c и d(), т.е. соотнести (20) и (21). Получаем семейство векторов (прямоугольную матрицу размером 58)
l() = .
Анализируя устанавливаемые в каждой строке этой матрицы порядки элементов, построим семейство отображений () (также матрицу размером 58). Имеем
() = .
В последующих вычислениях используется адекватное представление этой матрицы в виде семейства матриц подстановки (), получаемое по введенному ранее правилу. Однако в силу громоздкости это представление здесь не приводится.
Теперь на основании соотношений (11) и (13) определяется семейство векторов предпочтений b(). Сначала определяется скорректированный с учетом преобразования векторd. Имеем в матричной форме
d() = d T.
Проделывая вычисления, находим
d() = .
Затем находится семейство векторов (), k-я компонента которых k() определяется по формуле (11):
() = .
Используя теперь формулу (13) и учитывая (24), находим семейство векторов рисковых предпочтений
b() = .
На основании полученной информации определяется оптимальный портфель инвестора и находятся его финансовые характеристики. Семейство векторов коэффициентов элементарных инструментов в оптимальном портфеле задается матрицей
g() = 10-4 . (25)
Наконец, для каждого последовательно находятся стоимости инструментов, их доходы и доходности вложения. Все эти финансовые характеристики собраны в матрице
.
В 1-м столбце матрицы представлены значения , во 2-м - стоимости A() = |g()|, в 3-м - доходы от инвестиции R() , и в 4-м - относительные доходы r(). Следуя принципу минимума относительного дохода, заключаем, что оптимальное вложение для инвестора дается параметром = 3, при этом относительный доход равен 1.21, что, как и должно быть, превышает rrf. Стоимость оптимального инструмента |g| = 0.405, а средний доход (с точки зрения самого инвестора) Ropt = 0.489; сам оптимальный портфель определяется 3-й строкой матрицы (25):
g() = 10-4 (806s1 + 306s2 + 120s3 - 15s4 - 65s5 + 47s6 + 205s7 + 501s8).
Литература
1. Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и критерий допустимых потерь (VaR). М.: ВЦ РАН, 2001. 34 с.
2. Агасандян Г.А. Многоступенчатый критерий VaR на реальном рынке опционов. М.: ВЦ РАН, 2002. 35 с.
3. Agasandian G.A. Optimal Behavior of an Investor in Option Market // International Joint Conference on Neural Networks. The 2002 IEEE World Congress on Computational Intelligence (Honolulu, Hawaii, Mai 12-17, 2002). Pp. 1859-1864.
4. Агасандян Г.А. Описание поведения инвестора на многопериодном рынке опционов. М.: ВЦ РАН, 2003. 29 с.