где 5с = AovAdc. Теперь, выполняя операцию (6.17) с заменой Дсot на 5сС полу чаем для функций А (т) и В (т) следующие выражения:
А (т) = — Ко Uс - [cos Ф —е - т cos (50 т + Ф)], |
(6.72) |
|
У 1+1с |
|
|
В{х) = —----° ... |
[sin Ф— e_ T sin (gc т + Ф)], |
(6.73) |
V\ +it |
|
|
где |
Ф = arctg | с. |
(6.74) |
|
||
Из выражений (6.72) и (6.73) вытекает, что закон установления амплитуды |
||
выходного напряжения имеет |
вид |
|
£Л>ых (т) = У Щ х Т + В Ч х У = |
■ KoUc У 1 + е ~ 2т—2e~ Tcos5c T. |
(6.75) |
|
V 1 + 5? |
|
Нетрудно заметить, что множитель перед корнем (6.75) соответствует амплитуде выходного напряжения в установившемся режиме, т. е.
^вых у = Ко UС/ У 1 + |с - |
(6.75) |
С учетом (6.73) выражение (6.72) можно записать как |
|
-^зых-(т) = V \ + е ~ 2т—2e~ Tc o s|c T . |
(8.77) |
^вых у |
|
Наличие в подкоренном выражении (6.77) составляющей, в которую входит |
|
cos 5ст>указывает на то, что в данном случае амплитуда устанавливается |
коле |
бательно, причем основная чаетота колебаний огибающей равна разности со0—Ыа- Это является результатом биений между установившимся и собственными ко лебаниями каскада, из которых первое имеет частоту со0, а второе — частоту « в.
ивыХ&
Рис. 6.8
Формуле (6.77) соответствуют переходные характеристики, приведенные на рис. 6.7. Согласно рисунку, увеличение расстройки приводит к йекоторому умень шению времени установления. Однако это не имеет практического значения, так как расстройка приводит к существенному ухудшению других параметров приемника.
Установление амплитуды выходного напряжения сопровождается колеба нием фазы его высокочастотного заполнения. Из (6.72) и (6.73) получаем
ф (т) = —arctg |
sin Ф—е т sin (|с т + |
Ф) |
|
|
|
(6.78) |
|
cos Ф |
'■cos (5с г + Ф) . |
||
При т ->- оо из выражений (6.78) и |
(6.74) |
следует, что |
(6 79) |
ф (оо) = |
—Ф = |
—arctg | с. |
|
|
|
|
215 |
На рис. 6.8 приведен график для ф (т), построенный при |
| с = 1. Из гра |
||
фика видно, |
что фаза ф (т) стремится к своему |
предельному |
значению (6.79) |
колебательно. |
Как уже указывалось в § 6.1, эти |
колебания следует учитывать |
|
лишь тогда, когда за трактом промежуточной частоты приемника следует какоелибо устройство, чувствительное к фазе колебаний.
Проведем аналогичные выкладки для двухкаскадного усилителя с взаимно
расстроенными контурами. Операционный коэффициент |
усиления НЭ такого |
|||||
усилителя выражается формулой |
(6.57), |
а изображение |
огибающей входного |
|||
сигнала — формулой (6.68). Из (6.57) и (6.68) получим |
|
|||||
Uс (р— ;'Д(о)Кно (Р) = |
|
Uc |
____Кр а 2 (1 + jjp) |
|||
р — /Асо |
р2 + 2ар + а 2 (1 |
|||||
________а 2С +Sp)______ |
(6.80) |
|||||
Ко U(. [(р + а)2 + (а«0)2] |
\р— /Д(0] |
|||||
|
||||||
Для перехода к оригиналу воспользуемся формулой |
|
|||||
_________ 1_________ |
|
е ~ г< |
_ |
e~ at sin (bt -f ф) |
||
{(p + a)2 + b2](p + c) |
' |
(а—с)2 + b2 |
|
(6.81) |
||
b У (a—c)*-hb2 ’ |
||||||
где |
tg (p = b/(a — с). |
|
(6.82) |
|||
|
|
|||||
В данном случае а = а, b = а^о и с = —уДсо. Поэтому, умножая ориги
нал, полученный в результате применения формулы (6.81), |
на е—,Дш/ |
и пе |
||||
реходя к безразмерному |
времени, находим |
|
|
|
||
|
|
|
14-Ё2 |
|
|
|
|
А (т) + ]В (т) = К 0 Uс -------- — |
----Г X |
|
|
||
|
|
|
0 + Яс)* + &? |
|
|
|
X |
У ( >+/1с)2+ £о |
, - ( 1+ ^ с ) |
sin (£0 т + |
ф) |
(6.83) |
|
|
|
и |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф = агс18—- |
— ф '+ /Ф"- |
|
(6 84) |
|
|
|
1 + |
ISc |
|
|
|
Нетрудно убедиться |
в том, что при |
1С= 0 выражение (6.83) превращается |
||||
в (6.60). Модуль правой части (6.83) представляет собой закон установления ам плитуды выходного напряжения.
Поскольку основной интерес в рассмотрении представляет не количествен ный, а качественный результат, не будем продолжать вычисления и ограничим-
ся определением спектра входящего в (6.83) множителя е с sin (lot + ф), который позволит установить характер огибающей переходного процесса. Учи тывая (6.84) и выражая синус через экспоненциальные функции, указанный мно
житель можно записать |
как |
|
|
|
|
|
||
|
еЛ° Х sin ( |0 т + ф )= |
|
|
{ехр —ф"ехр /[(£0—£с) т + ф'] — |
||||
|
|
—ехр ф" ехр — / [(1о+ 1с) т + ф']}• |
(6-85) |
|||||
Согласно (6.85) |
огибающая |
выходного напряжения |
имеет составляющие |
|||||
с частотами cox— сос и |
(ос—ю2. Действительно, |
|
|
|||||
(Ео—Ес)т |
|
_ |
2 |
/ |
|
(Ol—<Х>2 |
■©о d t =(o)i—сос) t, (6.86) |
|
co0d |
|
и0 d |
\ |
с |
2 |
|||
|
|
|
|
|||||
216
(£о + £с) т = |
«г |
(1>2 |
, |
2 |
X |
|
__$Ь]Х |
||
®о d |
Ф ----7 |
|
|||||||
|
|
|
|
(Оо d |
|
|
Кых у |
||
X (Ос + |
(Й1-Ь<Й2 )Н(Ottdl = ((i)c—(Oj) б |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(6.87) |
|
|
Указанные |
составляющие |
являются |
ре |
|
|||||
зультатом |
биений |
между |
установившимися |
|
|||||
колебаниями, имеющими частоту шс, |
и двумя |
|
|||||||
собственными |
колебаниями, |
происходящими |
Рис. 6.9 |
||||||
на частотах оц |
и |
<о2. |
Примерный |
вид |
оги |
||||
бающей показан |
на |
рис. |
6.9. |
Переходная |
|
||||
характеристика помимо медленной колебательной составляющей содержит
также быструю составляющую. Одна из них имеет частоту со,—шс а другая — частоту (ос—<о2.
6.7. Прохождение радиоимпульсов через избирательные усилители
Изложенная методика позволяет найти огибающую выходного на пряжения избирательного усилителя при воздействии импульсных сигналов.
Покажем сначала довольно простой способ нахождения огибающей на выходе усилителя, пригодный при совпадении резонансной частоты усилителя с частотой высокочастотного заполнения радиоимпульса, имеющего огибающую прямоугольной формы (пунктир на рис. 6.10, а). Такое воздействие может быть получено сложением двух противофаз ных ступенчатых колебаний, обладающих одинаковыми амплитуда ми и сдвинутых на время, равное длительности tHимпульса (рис. 6.16, б, в). Входные колебания «вх1 и нвх2 вызывают на выходе усилителя напряжения «вых1 и «ВЫХ2 соответственно (рис. 6.10, г, д), которые так же, как и нвх1 и «вх2, находятся в противофазе. Поэтому отыска ние огибающей выходного импульса сводится к непосредственному вычитанию переходных характеристик для огибающей избирательно го усилителя, сдвинутых на время /„ (рис. 6.10, е).
Если же частота входного сигнала не совпадает с резонансной ча стотой усилителя, то из-за происходящих при переходном процессе
колебаний фазы необходимо геометрическое сложение огибающих обо их колебаний и изложенный способ построения огибающей выходного радиоимпульса теряет свою наглядность. В этом случае проще непо средственно рассматривать собственные колебания усилителя, начи нающиеся после прекращения действия входного радиоимпульса.
В изображенном на рис. 6.10, г, д случае переходная характеристи ка усилителя обладает выбросом. Это приводит к всплескам высоко частотных колебаний, на выходе, следующих за задним фронтом импульса, которые во многих случаях нежелательны (рис. 6.10, е). Например, они могут быть приняты оператором радиолокационной станции за импульсы, отраженные от несуществующих целей. Амплитуда этих импульсов тем больше, чем больше выброс переход ной характеристики усилителя.
Аналогичные всплески появляются и при несовпадении частоты сигнала с резонансной частотой усилителя, в характеристике которого выброса может и не быть.
Поэтому при проектировании избирательных усилителей стремят ся не допустить значительных выбросов переходной характеристики, а усилители настраивать точно на частоту заполнения входного си гнала.
Другим важным для практических применений случаем является прохождение радиоимпульса колокольной формы через избиратель ный усилитель с гауссовой (колокольной) частотной характеристикой 15]. Эта задача возникает при радиолокационном приеме импульсных сигналов, отраженных от цели. При ее решении воспользуемся общи ми результатами, приведенными в § 6.2 и 6.3.
Рассмотрим сначала частотную характеристику я-каскадного уси лителя с одиночными настроенными в резонанс контурами. Норми рованный коэффициент передачи такого усилителя может быть найден из выражения (6.30) в виде
* (it) ■ |
- /narctg I |
(6.88) |
|
(Н -6*)п/2 |
|||
О + Ю" |
|
Потребуем, чтобы при неограниченном увеличении числа каска дов п полоса пропускания Асоу усилителя, отсчитываемая на уровне 1/<7 максимального, сохранялась неизменной. Для этого необходимо выполнить следующее условие:
(о0d |
Асоу |
Асоу "l/n |
(6.89) |
|
3 |
у |
2Wq |
||
Y |
q2l n — \ n y i |
|
||
Найдем предел, к которому стремится знаменатель выражения (6.88) при п -> оо:
lim (l+S*)«/2» |
lim |
|
1 + |
4 (со—со0)а |
2 |
п!2 |
|
п |
|
||||
|
Л->оо |
|
Асоу |
|
||
= |
lim |
| |
|
2а ~\п12а}а |
еа |
> |
где а = 4 (<а — со0)21п<7/ |
tl—>оо |
! |
|
п 1 / |
с |
|
Асоу. |
|
|
|
|
||
218
Тогда модуль нормированной частотной характеристики усилите ля можно записать как
|
х(со—со0) « |
ехр |
|
2 (со—ю0)2 (д2— 1) |
|
|
|
||||
|
|
(Дей! /Уп )2 |
п > 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ехр | |
|
4 (со—со0)2 In д |
|
|
(6.S0) |
|||
|
|
|
|
|
ДС0у |
п -*■ ОС |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
причем Лсох = |
co0d У q2— 1 — полоса пропускания одиночного |
конту |
|||||||||
ра на уровне 1!q максимального. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Фазовая характеристика |
ф (со— со0) |
усилителя асимптотически |
||||||||
линейна, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф (со— со0) ; |
-п arctg |
2 (со—со0)Т /2 |
2 ■/2п In q (со— со0) = |
|||||||
|
|
|
|
|
Ао)у ~у |
ft |
|
АсОу |
|
|
|
|
|
|
. 2Уф~- |
— /2 (со—С00) |
при п^> 1. |
|
(6.91) |
||||
|
|
|
До)х |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дифференцируя фазовую характеристику (6.91) |
по частоте |
при со = |
|||||||||
= |
со0, найдем время задержки сигнала |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Л*3= |
2Т/2я 1п <7 |
2 У д 2— 1 |
■п. |
|
(6.92) |
|||
|
|
|
|
ДсОу |
|
Дон |
|
||||
с |
Таким образом, комплексный коэффициент |
передачи |
усилителя |
||||||||
одиночными |
настроенными |
в резонанс контурами при количестве |
|||||||||
каскадов п |
оо |
описывается |
гауссовой |
кривой: |
|
|
|||||
|
К (/со) = |
К0 ехр 1—4 (со — со0)2Д — /Д/3 (со — |
|
|
|||||||
|
|
|
— со0)] |
при со > 0, |
|
|
|
(6.93) |
|||
где Ко— коэффициент |
усиления |
усилителя; |
b = Лсоу/] / |
Inq ~ |
|||||||
параметр, пропорциональный |
полосе пропускания усилителя. |
|
|||||||||
|
Линейный фильтр с подобным коэффициентом передачи физически |
||||||||||
неосуществим, поскольку при п -> оо полоса пропускания отдельных каскадов должна быть бесконечно большой, время задержки Ata так же должно стремиться к бесконечности. Тем не менее, аппроксимация
частотной |
характеристики «-каскадного усилителя зависимостью |
к (со — со0) ж ехр [— 2 (со — со0)2(92 — ^/(Доц/у^я)2] |
|
является |
хорошей, если число каскадов я > 5. |
На основе выражения (6.93) запишем комплексный коэффициент передачи низкочастотного эквивалента усилителя, имеющего гауссову частотную характеристику, в виде
4Q1 |
Q |
|
—----- --.д/ |
(6.94) |
|
Кнэ (/&) = Ко е 62 |
3 . |
Перейдем теперь к сигналу. Колокольным называется радиоим пульс, имеющий гауссову огибающую, постоянную частоту заполне
219