Материал: Расчет нелинейных магнитных цепей (96

Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей аналогичен первому закону Кирхгофа для электрических цепей.

Если принять, что вектор индукции B одинаков во всех точках поперечного сечения S неразветвленной магнитной цепи и направ-

где k указывает участок цепи, вдоль которого магнитная индукция В и площадь поперечного сечения S неизменны.

В результате подстановки Bk = Φ/ Sk в (2) получим зависи-

мость между магнитным потоком Ф и магнитодвижущей силой F, которую называют законом Ома для магнитной цепи:

где Rм– магнитное сопротивление цепи, 1/Гн.

При неизменных поперечном сечении S и магнитной проницаемости µа

Rм = µlсраS ,

где lср – длина средней линии магнитной индукции. В случаях, когда магнитная цепь состоит из участков с различной магнитной проницаемостью, говорят о магнитных сопротивлениях участков:

Магнитное сопротивление участка из неферромагнитного материала постоянно:

Rм = µl S = UФм .

0

6

Сопротивление же участка из ферромагнитного материала нелинейно и в расчете учитывается вебер-амперной характеристикой Φ = f (Uм), которая получается изменением масштаба кривой на-

магничивания и является аналогом вольт-амперной характеристики нелинейного омического сопротивления.

Между величинами, характеризующими магнитные и электрические цепи, существует формальная аналогия:

Эта формальная аналогия распространяется и на методы расчета магнитных цепей.

Формальная аналогия позволяет и для магнитной цепи составить схему замещения, в которой каждый участок будет представлен магнитным сопротивлением, а каждая обмотка с током – магнитодвижущей силой, направление которой определяется по правилу правоходового винта. В ветвях такой схемы протекают магнитные потоки, а на элементах существуют магнитные напряжения. Расчет таких схем подобен расчету схем замещения нелинейных цепей постоянного тока и может быть проведен любым из известных методов (например, методом двух узлов или методом последовательных упрощений).

2. НЕРАЗВЕТВЛЕННАЯ МАГНИТНАЯ ЦЕПЬ

Простейшей неразветвленной магнитной цепью является замкнутый магнитопровод с одинаковым поперечным сечением и одинаковой магнитной проницаемостью по всей длине, например тороидальный магнитопровод.

При расчете магнитной цепи обычно известны геометрические размеры и материалы участков. Рассматриваются две задачи расчета магнитной цепи: прямая и обратная.

7

Прямая задача состоит в определении намагничивающей силы по заданному магнитному потоку. Магнитный поток во всех участках неразветвленной магнитной цепи одинаков, следовательно, можно найти магнитную индукцию Bk = Φ/ Sk в каждом из них,

затем по кривым намагничивания определить напряженность магнитного поля Hk = f (Bk ), далее вычислить магнитные напряже-

ния на участках Uмk = Hklk и по второму закону Кирхгофа под-

n

считать магнитодвижущую силу F = ∑Uмk .

k=1

Более сложной является обратная задача, когда по заданной намагничивающей силе нужно определить магнитный поток. Она решается с помощью вебер-амперной характеристики цепи Ф = f (Uм), при построении которой приходится решать несколь-

ко прямых задач для ряда произвольно выбранных значений магнитного потока Ф.

Иногда требуется вычислить статическую индуктивность обмотки L (если она одна в магнитной цепи). По определению

где W – число витков обмотки; Gм – магнитная проводимость. В этом случае энергия магнитного поля

Wм = L2I 2 = Ψ2I = Ф2F .

Cледует особо отметить, что во всех случаях расчета магнитных цепей нами не учитываются потоки рассеяния и явление гистерезиса.

Пример 1. Неразветвленная магнитная цепь, изображенная на рис. 1, представляет собой сердечник из листовой электротехнической стали с обмоткой из W = 300 витков. Требуется найти ток в обмотке, создающий в сердечнике магнитный поток

Φ =1,3 10−4 Вб.

Решение. Цепь разбиваем на участки 1−4 с длинами отрезков средней линии магнитной индукции

8

l1 = 0,025 м; l2 = 0,12 м; l3 = 0,025 м; δ = 0,5 · 10–3м

и поперечными сечениями

Значения индукции в поперечных сечениях:

B1 = B3 = Bδ = Ф/ S1 = 1,3 · 10–4/2 · 10–4 = 0,65 Тл;

B2 = Ф/ S2 = 1,3 10−4 /1 10−4 = 1,3 Тл.

Рис. 1

Напряженности магнитного поля в стали в соответствии с кривой намагничивания, изображенной на рис. 2 (где 1 – листовая сталь Э-11; 2 – литая сталь), равны:

H1 = H3 = 100 А/м; H2 = 650 А/м.

Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре согласно выражению (3):

Hδ = 0,8 106 Bδ =0,8 · 106 · 0,65 = 520 · 103 А/м.

Намагничивающая сила обмотки:

IW = ∑Hklk = H1l1 + H2l2 + H3l3 + Hδlδ =

=100 · 0,025 + 650 · 0,12 + 100 × × 0,025 + 520 · 103 · 0,5 · 10–3 = 2,5 + 78 + 2,5 + 260 = 343 А.

9

магничивающей силы обмотки затрачивается на поддержание магнитного потока в воздушном зазоре, в то время как ширина зазора (δ = 0,5 · 10–3м) составляет лишь незначительную часть (приблизительно 0,29 %) от общей длины магнитной цепи ( l1 +l2 +l3 +δ=

= 0,1705 м). Это является характерным для всех магнитных цепей и заставляет конструкторов электрических машин (во избежание чрезмерного увеличения намагничивающих сил обмоток) делать в магнитных цепях ширину воздушных зазоров возможно малой.

Пример 2. В магнитной цепи, рассмотренной в примере 1, требуется найти магнитный поток Ф в сердечнике, если ток в обмотке

I = 1,25А.

Решение. Цепь разбиваем на такие же участки 1–4, как и в примере 1. Первое приближенное значение магнитного потока находим из выражения

перечное сечение магнитного потока, проходящего через воздушный зазор; δ – толщина воздушного зазора.

10