Документ: Расчет стержня на кручение. методические указания к выполнению контрольных и расчетно-графических работ по курсу Сопротивление материалов. Мухтаров Р.А., Резунов А.В, страницы 16-20

3.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИАМЕТРА СТЕРЖНЯ СПЛОШНОГО КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Наибольший по абсолютной величине крутящий момент от нормативной

нагрузки по эпюре Mx равен Mnx max 3.1кНм (см. рис.2,б). Наибольший расчетный крутящий момент равен

Mxmax Mnxmax f 3.1 1.2 3.72кНм .

Диаметр круглого поперечного сечения определяем из условия прочности (1)

W

M

x max

,

где

W

d

3

(см. табл.1).

16

x

16 3.72 10 3

Отсюда d

3

16 M

x max

3

0.0574м 5.74см .

100

Из условия жесткости (2)

J

M

nx max

, где

J

d4

(см. табл.1).

x

G

32

x

32 3.10 10 3

Отсюда d

4

32 M

nx max

4

0.0838м 8.38см .

G

8 104

8 10 3

Из двух полученных значений принимается наибольший диаметр с ок-

руглением в большую сторону d 8.4см.

Площадь поперечного сечения

А

d2

8.42

4

55.4см2 .

Полярный момент инерции J

d4

8.44

488.8 см4 .

x

32

Полярный момент сопротивления W

d3

8.43

116.4 см3

x

16

Из условия прочности (1) допускаемый крутящий момент равен

M

x

W 100 103 116.4 10 6 11.6 кНм .

x

Из условия жесткости (2)

M

x

G J

x

f

8 10 3 8 107

488.8 10 8

1.2 3.75 кНм .

В качестве допускаемого расчетного момента принимаем наименьшее из этих двух значений Mx 3.75 кНм .

3.4. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮРЫ УГЛОВ ЗАКРУЧИВАНИЯ

Отсчитываем углы поворота (x) сечений относительно неподвижного опорного сечения ( x 2.4м ). По (12) составим выражения для (x) на участках загружения стержня и определим значения (x) в характерных сечениях.

16

	3-й участок (1.6 м x3					2.4 м; рис. 2.а)
					(x		) (2.4) 2.4					Mx (x3 )		dx .
					(x		) (2.4) 2.4					G J		dx .
						3						G J			3
						3									3
										x	3		x
											3
	При G J			x	8 107 488.8 10 8 391кНм2 , (2.4) 0 и
				x
Mx 5.9 3 x3					кНм (см. п.3.2) будем иметь
	1		2.4						1							2		2
(x	3 )			5.9 3 x3 dx3						5.9 2.4 x3					1.5 2.4		x	3	рад .
(x	3 )	391		5.9 3 x3 dx3					391	5.9 2.4 x3					1.5 2.4		x	3	рад .
			x
			3
	Для построения эпюры							(x3 ) на 3-м участке задаем значения x3 через

0.25 a 0.25 0.8 0.2м

(2.2) 5.12 10 4 рад , (2.0) 7.16 10 4 рад , (1.97) 7.20 10 4 рад ,(1.8) 6.14 10 4 рад , (1.6) 2.05 10 4 рад .

2-й участок (0.4 м x2 1.6м; рис. 2.а)

(x		) (1.6) 1.6		Mx (x2 )		dx		.
	2						2
				G J
					x
		x	2

При Mx (x2 ) 3.1кНм (см. п.3.2) получим

(x2 ) 2.05 10 4 3.1 (1.6 x2 ) .

391

Отсюда находим (1.6) 2.05 10 4 рад , (0.4) 93.1 10 4 рад . 1-й участок (0 м x1 0.4 м; рис. 2.а)

(x	) (0.4) 0.4						Mx (x1 )					dx			93.1 10 4					1.6 0.4 x1				.
(x	) (0.4) 0.4											dx		1	93.1 10 4									.
1								G J						1					391
								G J			x								391
					x	1					x
						1
Имеем далее (0.4) 93.1 10 4 рад ,																	(0) 109 10 4 рад .
Для контроля найдем значение (0) по следующей формуле
(0)			2.4		M (x)				dx						1			2.4	Mx (x) dx
(0)					x				dx										Mx (x) dx
					x
					G J			x					G J			x					G J		x
			0					x								x		0					x
		1		1.1 1.3																		10 4 рад ,
										0.8		3.1 1.2							1.6 0.4 109
										0.8		3.1 1.2							1.6 0.4 109
		391		2

где - площадь эпюры крутящих моментов.

По полученным значениям на рис. 2.в построена эпюра углов закручивания поперечных сечений стержня.

17

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОПУСКАЕМЫХ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ С РАЗЛИЧНЫМИ ФОРМАМИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

4.1. КРУГЛОЕ СЕЧЕНИЕ С ОТВЕРСТИЕМ (рис.6)

dd0 0.9

Из равенства площадей сплошного Ao и полого An

круглых сечений находим внешний диаметр d кольцевого профиля

d2

d

0

2

d2

An

1

1 2 Ao 55.4 см2 ,

4

d

4

4 Ao

4 55.4

d

19.3см .

1 2

1 0.92

Тогда d0 19.3 0.9 17.4см .

Из условия прочности (1) допускаемый крутящий момент равен

Mx Wx ,

где Wx

d3

1 4

19.33 1 0.94 485 см3 .

16

M

x

100 103 485 10 6 48.5 кНм .

Из условия жесткости (2)

Mx G Jx f ,

где Jx d4

1 4

19.34

1 0.94 4684см4 .

32

M

x

8 10 3

8 107 4684 10 8 1.2 36.0 кНм .

Вкачестве допускаемого расчетного момента принимаем Mx 36кНм .

4.2.ПРЯМОУГОЛЬНОЕ ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ (рис.7)

Находим размеры b и h поперечного сечения

Anp b h b2 1.3 b2 55.4см2 ,

b	55.4	6.53 см , h 1.3 6.53 8.49см.
b	1.3	6.53 см , h 1.3 6.53 8.49см.
	1.3
		18

Определяем геометрические характеристики сечения. Значения коэффициентов k1 и k 3 находим с использованием линейной интерполяции по табл. 2. Для 1.25 1.5 будем иметь

k1

( ) k1 (1.25)

1.25

k1 (1.5) k1 (1.25) 0.221

1.3 1.25

0.231 0.221

1.5 1.25

0.25

0.223;

k3 ( ) k3 (1.25)

1.25

k3 (1.5) k3 (1.25) 0.172

1.3 1.25

0.196 0.172

1.5 1.25

0.25

0.177 .

Тогда

W

k

1

h b2 0.223 8.49 6.532 80.7 см3 ;

x

J

x

k

3

h b3 = 0.177 8.49 6.533 = 418 см4

Из условия прочности (1)

M

x

W 100 103 80.7 10 6

8.07 кНм .

x

Из условия жесткости (2)

Mx G Jx f 8 10-3 8 107

418 10-8 1.2 3.21кНм .

Окончательно принимаем Mx 3.21кНм .

4.3. ТОНКОСТЕННОЕ ТАВРОВОЕ ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ (рис.8)

									Площадь тавра
									A 1 h 2 b h h b b h2 b2
									b 2				b2 b2	1 2 0.04 1 1.32 b2

									0.1076 b2				55.4 см2 .

									Откуда будем иметь b					55.4			22.7 см .

														0.1076
Учитывая заданные соотношения, получим
					h 1.3 22.7 29.5см, 1 0.04 h 0.04 29.5 1.18см,
					2	0.04 b 0.04 22.7 0.908см.
Находим геометрические характеристики сечения
W				3	S		3 S			2		1.183 29.95 0.9083 22.7				18.7 см3 ,
				1	1			2		2

		x			3	max							3 1.18
					3	max							3 1.18
			3 S			3		S	2		1.183 29.95 0.9083 22.7				22.1см4 .
J				1	1		2		2
J	x					3							3
	x

													19

Из условия прочности

Mx Wx 100 103 18.7 10 6 1.87 кНм .

Из условия жесткости

Mx G Jx f 8 10 3 8 107 22.1 10 8 1.2 0.170 кНм .

Окончательно принимаем Mx 0.17кНм .

4.4. ТОНКОСТЕННЫЙ ЗАМКНУТЫЙ ПРОФИЛЬ (рис.9)

h	1.3,		1	2	0.04 ,
b	1.3,		h	b	0.04 ,
b			h	b
A 2 b		2	h 2			2
		2				2	1

2 b 2 h 1 2 1 2

2 b2 b b 2 b b

2 b2 1 2 2 0.207 b2 55.4 см2 ,

b	55.4	16.4 см,	h 1.3 16.4 21.3см ,
	0.207

1 0.04 21.3 0.852см, 2 0.04 16.4 0.656см .

Вычисляем геометрические характеристики сечения (табл.1)

W 2

min

2 h

0

b

0

min

2

21.3 0.656 16.4 0.852 0.656 421см3 ,

x

2 h2

b2

2

2 20.642 15.552 0.852 0.656

4300см4 .

J

0

1

x

h0

2

b0 1

20.64 0.656 15.55 0.852

Из условия прочности

M

x

W 100 103 421 10 6

42.1кНм .

x

Из условия жесткости

M

x

G J

x

f

8 10 3

8 107 4300 10 8 1.2 33.0 кНм .

Окончательно принимаем Mx 33.0кНм .

5.ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА ПО ПРОЧНОСТИ

ИЖЕСТКОСТИ СТЕРЖНЕЙ

Для оценки прочности и жесткости профиля поперечного сечения заполним табл. 3 данными выполненных расчетов.

20

Смотрите также: