Материал: Разработка математической модели, позволяющей прогнозировать расходы на перевозки в зависимости от увеличения грузооборота

Разработка математической модели, позволяющей прогнозировать расходы на перевозки в зависимости от увеличения грузооборота

Оглавление

Введение

1. Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии

1.1 Расчет параметров линейной парной регрессии

1.2 Расчет параметров степенной парной регрессии

1.3 Расчет параметров показательной парной регрессии

2. Дисперсионный анализ линейной и степенной функции регрессии

3. Оценка тесноты связи расходов на перевозки и грузооборота с помощью показателей корреляции и детерминации

4. Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии

5. Сравнительная оценка силы связи грузооборота с расходами на перевозки с помощью среднего коэффициента эластичности

6. Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделирования

7. Расчет прогнозного значения расходов на перевозки по линейной модели при увеличении грузооборота

8. Реализация решенных задач на компьютере

8.1 Реализация процедуры «ЛИНЕЙН»

8.2 Реализация процедуры «Анализ данных»

8.3 Реализация процедуры «ТРЕНД»

Выводы

Введение

В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют, прежде всего, экономико-математические модели, часто объединяемые в системы моделей.

Экономико-математическая модель (ЭММ) - это математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Это математическая запись решаемой экономической задачи.

Экономико-математические модели применяются для решения большого числа практических задач. В основу ЭММ положены уравнения регрессии.

Регрессия - величина, выражающая зависимость среднего значения случайной величины у от значений случайной величины х.

Уравнение регрессии выражает среднюю величину одного признака как функцию другого.

В настоящей курсовой работе стоит задача обосновать математическую модель расходов на перевозки в зависимости от грузооборота. Исходными данными для ее расчета являются реальные значения расходов на перевозки и грузооборота (всего 17 железных дорог). Для обоснования модели в курсовой работе рассматриваются линейные и нелинейные парные функции регрессии. В работе на основе полученных функций регрессии выполнен выбор математической модели, позволяющей прогнозировать расходы на перевозки в зависимости от увеличения грузооборота.

1. Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии

регрессия корреляция математический

1.1 Расчет параметров линейной парной регрессии

Парная линейная регрессия имеет вид:

ŷx = a + b · x,

где ŷx - результативный признак, характеризующий расходы на перевозки;

x - фактор (грузооборот);

a, b - параметры, подлежащие определению.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (расходов на перевозки) y от теоретических ŷx будет минимальной. В этом случае для определения параметров a и b линейной регрессии необходимо решить следующую систему уравнений:

На основании исходных данных выполнены расчеты сумм приведенной системы уравнений, теоретических значений функции регрессии, а также разности функции регрессии и опытных значений, которые представлены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

С учетом обозначений при n = 17

 = (y1 + y2 + … + y17)/17; = (x1 + x2 + … + x17)/17;

 = (y1x1 + y2x2 + … + y17 x17)/17;

= (x12 + x22 + … + x17)/17; Sx2 =  2.

Значения параметров линейной регрессии вычисляются по формулам:

b = () / ( 2) =

= (382363812,4 - 4946,412 × 64723) / (32724,242)2 = 0,058;

a =  - b  = 4946,412 - 0,058 × 64723 =1186,047.

Тогда уравнение регрессии, являющееся линейной моделью расходов на перевозки в зависимости от грузооборота, примет вид:

ŷx = 1186,047+0,058 · x .

Рис. 1.1 «График линейной функции регрессии»

.2 Расчет параметров степенной парной регрессии

Степенная парная регрессия относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам. Однако она считается внутренне линейной, так как логарифмирование ее приводит к линейному виду. Таким образом, построению степенной модели

предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация позволяет использовать для определения параметров функции регрессии метод наименьших квадратов. При этом оценки параметров будут вычислены по алгоритму, изложенному в 1.1.

для этой цели проведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a + b lg x.

Ŷ = lg ŷ; X = lg x; A = lg a . Тогда уравнение примет вид:

Ŷ = A + b X.

Как отмечалось, для расчета параметров А и b используются соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными.

Весь предварительный расчет параметров степенной функции регрессии аналогично линейной сведен в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Тогда

b = (-)/Sx2 = (16,7704 - 4,609 · 3,5843) / 0,4213 =0,5945;=  - b ·  = 3,5843 - 0,5945 · 4,609 = 0,844.

Таким образом, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид: Ŷ = 0,844 + 0,594 · X.

Выполнив его потенцирование, получим: x = 6,9841 · x 0,5945

Подставляя в последнее уравнение фактические значения x, получаем теоретическое значение ŷx. Эти значения приведены в табл. 1.2.

Рис. 1.2 «График степенной функции регрессии»

.3 Расчет параметров показательной парной регрессии

Поскольку показательная функция относится к классу нелинейных по оцениваемым параметрам, то построению функции парной показательной регрессии

ŷx = a·bx

предшествует, как и в случае степенной функции регрессии, процедура линеаризации переменных с помощью логарифмирования обеих частей функции регрессии. После логарифмирования получим следующее выражение:

lg ŷх = lg a + x lg b.

Введя обозначения переменных и констант

Ŷ = lg ŷх, A = lg a, B = lg b,

Ŷ = A + B x.

Для определения параметров все вычисления сведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

C учетом табличных данных значения параметров линейной регрессии составят:

B =  / Sx2 = (242747,787- 3,584 × 64723) / (32724,24)2 = 1,0049;

A =  - B  = 3,584 - 1,0049 × 64723 = 2,933.

Таким образом, получено уравнение

Ŷ = 2,933 + 1,0049x,

или после потенцирования

ŷx = 858,68 ∙ (1,00002) x.

Рис. 1.3 «График показательной функции регрессии»

Рис. 1.4 «Теоретические значения расходов на перевозки»

Рис.1. 5 «Графики функций регрессии»

2. Дисперсионный анализ линейной и степенной функции регрессии

Центральное место в дисперсионном анализе занимает разложение общей суммы квадратов отклонения результирующего показателя y от его среднего значения  на две части, а именно на объясненную (факторную) и остаточную:

, (*)

где  - общая сумма квадратов отклонений;

 - объясненная (факторная) сумма квадратов;

 - остаточная сумма квадратов.

Результаты расчетов сведены в табл. 2.1.

На основании выполненных расчетов имеем:

=61451246,09+36629078.

Равенство (*) выполняется.

Если коэффициент b увеличить в 1,1 раза, то измененное уравнение линейной регрессии будет иметь вид: ŷx = 1186,047+0,0638*x. и приведенное выше соотношение (*) выполняться не будет.

Таблица 2.1.

≠ 76416192,17+39534958,

.

Дисперсионный анализ для степенной функции сведен в табл. 2.3.

Таблица 2.3

На основании выполненных расчетов имеем:

98080324,12 ≠ 62365165,921+33061472,

Это говорит о том, что равенство (*) выполняться не будет.

.

3. Оценка тесноты связи расходов на перевозки и грузооборота с помощью показателей корреляции и детерминации

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy. Существуют различные формы записи линейного коэффициента корреляции. Наиболее часто встречаются следующие:

rxy = b (Sx / Sy) = Mxy /(Sx / Sy) = ( -  )/ SxSy.

Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах -1 ≤ rxy ≤ 1. Если коэффициент регрессии b > 0, то 0 ≤ rxy ≤ 1, и наоборот, при b < 0 -1 ≤ rxy ≤ 0.

Используя первое выражение для rxy, рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

rxy = b (Sx/Sy) = 0,058∙ (32724,24/2401,963953) =0,791.

Значение коэффициента корреляции показывает, что связь прямая, то есть с увеличением грузооборота расходы на перевозки увеличиваются.

Так же учитывая, что значение коэффициента корреляции находится в промежутке от 0,8 до 1,0, следовательно, связь сильная, т.е. расходы на перевозки зависят в большей степени от грузооборота, нежели от других факторов.

Для оценки качества подбора линейной функции необходимо определить квадрат линейного коэффициента rxy2, который называется коэффициентом детерминации линейной функции регрессии. Он характеризует долю дисперсии (разброса) расходов на перевозки ŷx, объясняемую зависимостью грузооборота x, в общей дисперсии, возникающей за счет влияния множества факторов, не учтенных функцией регрессии.

Соответственно величина 1 - rxy2 характеризует долю дисперсии расходов на перевозки y, вызванную влиянием остальных не учтенных в математической модели факторов.

Определим коэффициент детерминации: rxy2 = (0,791)2 = 0,626.

Следовательно, изменение расходов на перевозки на 63% объясняется изменением грузооборота. Величина данного показателя находится в пределах 0 ≤ Rxy ≤ 1, при этом, чем она ближе к 1, тем теснее связь между расходами на перевозки и грузооборотом, тем более надежное уравнение регрессии.

Расчеты показателей степени связи между расходами на перевозки и грузооборотом при степенной модели показывают, что она немного хуже линейной модели (pxy = 0,78; R2 = 0,61).

Расчеты показателей степени связи между пассажирооборотом и длиной дороги при степенной модели показывают, что индекс корреляции не лежит в пределах от 0 до 1, следовательно он не показателен.