Материал: Решение краевых задач для уравнения Лапласа (96

Вариант 22

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u = 0,

< y < b

v00 < x < a, 0v0y(y b;)

π

0

0

ux x=0 =

b

, u x=a =

ab−

, 0 ≤ y ≤ b;

≤

≤

b

a

2a

v (x

a)

v

3

x

u

y=0

=

−

,

uy

y=b

=

1 + cos

,

0

x

a.

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

r2

≤

≤

≤

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

u

r=R = 0,

l;

≤ ≤

=0

R3

=

≤ ≤

uz

z

= v0

sin 2ϕ,

uz

z

l = 0,

0

r

R,

0

ϕ

2π.

Вариант 23

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u

,

v00

< x < a,

< y < b

ux

, u

=0v0y

, 0 ;

y b;

2

x=0

a

x=a

πx

b

≤

≤

v0

v0x

uy

=

1 + cos

2a

,

uy

y=b

=

a2b

,

0

≤

x

≤

a.

y=0

b

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

ϕ0

≤ zπ

ur

r=R

= 0,

≤0 ϕ 2π≤,

l;

u = 0, 0

r < R, 0

≤

2

, 0 < z < l;

r2

≤

≤

≤

=

=0

R3

≤ ≤

≤ ≤

uz z

= v0

cos 2ϕ,

u

z

l = 0,

0

r

R,

0

ϕ

2π.

46

Вариант 24

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u

,

< x < a,

< y < b

b;

ux

= 0= v00

, u

=02v0

v0y; , 0 y

x=0

a

x=a

−

b

≤ ≤

v0x(a + x)

v0x

3πx

u

y=0 =

a2

, u

y=b

= a

+ v0 cos 2a ,

0 ≤ x ≤ a.

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

r2

≤

≤

≤

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

u r=R = 0,

l;

≤ ≤

≤ ≤

=0

R3

=

uz z

= v0

sin 2ϕ,

uz

z

l = 0,

0

r

R,

0

ϕ

2π.

Вариант

25

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

< a,

< y < b

u = 0, 0 < xy

0

πy

;

v0y(y + b)

−

0

y

b;

≤

≤

u

x=0

= v0

1

b

+ v0 cos 2b ,

ux

x=a

=

ab2

,

≤

≤

uy

= v0(x − a)

, u

= 2v0x, 0 x a.

y=0

ab

y=b

a

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

r2

≤

≤

≤

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

u r=R = 0,

l;

≤ ≤

=0

R2

=

≤ ≤

u z

= v0

sin 2ϕ,

u

z

l

= 0,

0

r

R,

0

ϕ

2π.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА . . . . . . .

3

1.1. Уравнение Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Гармонические функции и их свойства . . . . . . . . . . .

3

1.3. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа . . . . .

4

2. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1. Оператор Штурма — Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2. Задача Штурма — Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3. Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . .

11

3.

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.1. Метод Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2. Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.3. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . .

23

4.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4.1. Уравнение Бесселя. Фундаментальные системы решений

уравнения Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4.2. Краевая задача на собственные значения и собственные

функции для уравнения Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . .

27

5.

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

В ЦИЛИНДРЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

5.1. Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

5.2. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . .

33

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Условия домашнего задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48