Материал: Решение краевых задач для уравнения Лапласа (96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

на ее границе Σ заданные непрерывные значения f(P ), P Σ, и обращающуюся в нуль на бесконечности.

Внешняя задача Неймана (в пространстве): найти гармоническую в области Ω0 функцию u C Ω0 , имеющую на ее границе

Σзаданную непрерывную нормальную производную g(P ), P Σ,

иобращающуюся в нуль на бесконечности.

При постановке аналогичных задач на плоскости ставится условие ограниченности искомой функции на бесконечности.

Справедливы следующие утверждения.

1.Решение внутренней (внешней) задачи Дирихле (в пространстве, на плоскости) единственно.

2.Внутренняя (внешняя) задача Дирихле (в пространстве, на плоскости) разрешима при любой непрерывной функции f(P ).

3.Решение внутренней задачи Неймана (в пространстве, на плоскости) определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной.

4.Внутренняя задача Неймана разрешима при любой непрерывной функции g(P ), удовлетворяющей условию:

L

5. Решение внешней задачи Неймана в пространстве единствен-

но.

6.Внешняя задача Неймана в пространстве разрешима при любой непрерывной функции g(P ).

7.Решение внешней задачи Неймана на плоскости определено

сточностью до произвольной аддитивной постоянной.

8.Внешняя задача Неймана на плоскости разрешима при любой непрерывной функции g(P ), удовлетворяющей условию (1.1).

6

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2.ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ

2.1.Оператор Штурма — Лиувилля

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор L, действующий на функцию f(x) по правилу

оператор называют оператором Штурма — Лиувилля. Областью определения оператора L является D(L) = C2[a, b], а областью значений — E(L) = C[a, b].

Далее обозначим через Q множество функций f(x) C2[a, b], удовлетворяющих следующим однородным граничным условиям:

Можно показать, что оператор L, рассматриваемый в пространстве Q, является самосопряженным, т. е. для любых функций f, g Q справедливо равенство

Замечание. Вообще говоря, D(L) 6= E(L), поэтому использование в данном контексте термина «самосопряженный оператор» требует пояснений.

Рассмотрим линейное пространство L2[a, b] функций, интегрируемых на [a, b] с квадратом. Скалярное умножение и норма в этом пространстве задаются формулами (2.1) и (2.2), в которых интегралы понимаются как интегралы Лебега. Множество Q является

7

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

линейным многообразием в L2[a, b], и тождество (2.3) следует понимать как тождество в пространстве L2[a, b].

2.2. Задача Штурма — Лиувилля

где L — оператор Штурма — Лиувилля, λ — некоторая постоянная. Задачу (2.4), (2.5) называют задачей Штурма — Лиувилля. Она состоит в нахождении собственных значений и собственных функций оператора Штурма — Лиувилля, действующего в пространстве

Q.

Перечислим основные свойства собственных значений и собственных функций оператора L.

1.Каждому собственному значению соответствует с точностью до числового множителя только одна собственная функция.

2.Все собственные значения неотрицательны:

λn ≥ 0, n N {0}.

Замечание. Значение λ0 = 0 может быть собственным значе-

1= β2 = 0.

3.Собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

4.Система собственных функций {Xn(x)}∞n=1 оператора L является полной в пространстве L2[a, b].

Каждую функцию f(x) L2[a, b] можно единственным обра- зом разложить в ряд Фурье по системе {Xn(x)}∞n=1:нием оператора L только при q(x) ≡ 0 и β

ряд сходится к f(x) по норме пространства L2[a, b], т. е. в среднем квадратичном.

Согласно теореме В.А. Стеклова, если f(x) Q, то ряд Фурье сходится к f(x) абсолютно и равномерно.

8

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Замечание. Постановка (2.4), (2.5) задачи Штурма — Лиувилля является общей и в зависимости от значений коэффициентов αi и βi, i = 1, 2 включает в себя девять частных случаев.

2.3. Примеры решения задач

Решение. Задача представляет собой частный случай общей по-

становки задачи (2.4), (2.5) при p(x) ≡ 1, q(x) ≡ 0, α1 = α2 = 0. Дифференциальное уравнение (2.6) является линейным одно-

родным. С учетом того, что λ > 0, общее решение этого уравнения может быть записано в виде

Найдем такие значения произвольных постоянных A и B (не равных нулю одновременно) и параметра λ, при которых решение (2.8) удовлетворяет граничным условиям (2.7). Подставляя (2.8) в (2.7), получим

линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных A и B. Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:

приходим к следующему уравнению для определения собственных значений λ:

sin √λ l = 0.

9

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Уравнение (2.10) имеет счетное множество вещественных корней μn = πn, n N. Отсюда находим собственные значения