Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М

Решение задания 1.1. В этом задании дано множество Z целых чисел. Очевидно, произведение целых чисел и разность целых чисел – целые числа, а корень из целого числа и частное от деления целых чисел не всегда являются целыми числами. Поэтому правильные ответы: операции умножения и вычитания.

Решение задания 1.2. Здесь рассмотрим, какие из операций с натуральными числами всегда дают в результате натуральное число. Очевидно, это

сложение и умножение.

Решение задания 1.3. В этом задании дано множество натуральных чисел, делящихся на 3. Произведение и сумма таких чисел тоже делится на 3, а частное и разность вообще могут и не являться натуральными числами. Значит, правильные ответы: операции сложения и умножения.

Тестовое задание 1.4

В заданиях 1.4 и 1.5 фактически задается вопрос о замкнутости множества относительно двух операций, а вместо этого ставится вопрос о выполнимости операций всегда на данном множестве, т.е. о принадлежности результатов указанных операций с любыми элементами множества тому же множеству.

Решение задания 1.4. В данном задании правильный ответ – умножение

исложение, так как данное множество состоит из положительных четных чисел. Результаты вычитания и деления таких чисел могут быть неположительны

идаже не являться целыми.

Решение задания 1.5. В этом задании рассмотрены те же действия, что и в задании 1.4, но на множестве натуральных чисел с добавленным к ним числом 0. Очевидно, ответ такой же, как и в задании 1.4, и по той же причине.

16

1.2.2. Бинарные алгебраические операции

Решение заданий 1.6. и 1.7. В этих заданиях рассматривается множество N натуральных чисел. Перечислены несколько бинарных операций. Нужно определить, какие из них определены на N, т.е. результат каких из этих операций с любыми натуральными числами есть натуральное число. Очевидно, это опе-

или дроби. Поэтому в заданиях 1.6 и 1.7 правильные ответы – вторая и третья операции.

Тестовое задание 1.8

17

В заданиях 1.8 и 1.9 нужно определить элемент, симметричный (противоположный, обратный ) данному элементу.

Решение задания 1.8. В данном задании дана группа R действительных чисел с операцией умножения, в которой нейтральным элементом является число 1. В этом случае симметричным любому ненулевому числу является об-

ратное ему (числу a ≠ 0 симметричное a−1 = 1a ). Числу 8 симметричным явля-

ется 18 = 0,125.

Решение задания 1.9. Здесь дана группа Z целых чисел с операцией сложения, в которой нейтральным элементом является число 0. В этом случае симметричным любому целому числу является противоположное число (числу a симметрично « −a »). Числу 4 симметричным числом является « −4 ».

Тестовое задание 1.10

Решение. В этом задании рассматривается бинарная операция сложения чисел. Спрашивается, на каких из рассматриваемых числовых множествах она выполнима, т.е. фактически какие из предлагаемых множеств замкнуты относительно операции сложения. Очевидно, эти множества – множество действи-

Решение. В данном задании рассматривается бинарное отношение R делимости на множестве натуральных чисел N. В отношении R находятся такие

18

пары натуральных чисел (a, b), для которых ba – целое число. Спрашивается,

для каких из приведенных четырех множеств пар натуральных чисел все пары этих множеств находятся в отношении R. Для ответа на этот вопрос нужно для каждого множества проверить каждую пару – делится ли первый элемент пары на второй? Очевидно, правильный ответ – второе и четвертое множества. Действительно, во втором множестве 36 делится на 2, 36 делится на 3, 36 делится на 4 и 36 делится на 9. Аналогично проверяется четвертое множество. В первом множестве третий элемент (16;32), а в третьем множестве третий эле-

мент (18;36) нас не устраивают, так как 16 не делится нацело на 32, а 18 на 36.

1.2.3. Векторные пространства

Тестовое задание 1.12

Тройка векторов, образующих базис в пространстве, изображена на рисунках

…

19

Решение. В этом задании изображены четыре тройки векторов в трехмерном векторном пространстве. Предлагается указать те из этих троек, которые образуют базис в этом пространстве. Так как базис в трехмерном векторном пространстве образует любая тройка линейно независимых векторов, а условие линейной независимости трех векторов – их некомпланарность, то визуально (т.е. глядя на рисунки) определяем, что некомпланарные тройки векторов

– во втором и третьем вариантах предлагаемых ответов. Действительно, выпустив эти векторы из одной точки, получим (перенесенные векторы обозначим толстой линией):

в первом варианте –

во втором варианте –

в третьем варианте –

в четвертом варианте –

Теперь видно, что в первом и четвертом вариантах тройки векторов лежат

20