Материал: Ряды

на множестве {x}, то множество занумерованных функций f1(x), f2(x), …, fn(x), … называется функциональной последовательностью.

Определение 13

Отдельные функции fn(x) называются членами (элементами) функциональной последовательности.

Определение 14

Множество {x}, на котором определены функции fn(x), называется областью определения функциональной последовательности.

Следует заметить, что если область определения {x} является множеством в m- мерном пространстве, то каждая функция fn(x) является функцией m переменных fn(x)=fn(x1,x2,…,xm), где x1,x2,…,xm – координаты точек x.

Определение 15 Формально записанную сумму

бесконечного числа членов функциональной последовательности, которая называется функциональным рядом. При этом отдельные функции fn(x) называются членами ряда, а множество {x}, на котором определены эти функции, называется область определения функционального ряда.

Определение 16

Сумма первых n членов функционального ряда называется n-ой частичной суммой этого ряда Sn(x).

Пример 8

Рассмотрим последовательность функций {fn(x)}, каждая из которых определена на сегменте 0≤x≤1 и имеет вид

На рис. 1 приведены графики функций f1(x), f2(x) и fn(x). Областью определения данной последовательности является сегмент 0≤x≤1. Следует заметить, что каждая функция fn(x) непрерывна на сегменте 0≤x≤1.

Пример 9 Рассмотрим степенной ряд

областью определения которого является плоскость {-∞<x<+∞,-∞<y<+∞}. Может быть показано, что суммой данного ряда является следующая функция

9

абсолютно сходится для всех значений x, по модулю меньших некоторого числа R (|x|<R, в качестве частного случая возможно R→∞), называемого радиусом сходимости степенного ряда. При |x|>R ряд расходится. Для ряда

a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+…

абсолютная сходимость имеет место при |x-x0|<R. При |x-x0|>R ряд расходится. Радиус может быть определён с помощью соотношений

Следует заметить, что на концах промежутка сходимости ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

2) Существует только одно число R, которое является пограничным между областями сходимости и расходимости ряда.

для любых чисел λ и µ ряд ∞ [λ fn (x)+ µ gn (x)] также сходится равномерно в

∑

n=1

рассматриваемой области.

4) Если ряд ∑∞ fn (x) равномерно сходится в некоторой области, а функция g(x)

n=1

Радиуссходимоститакогорядаравен R = lim (n +1) n =1. Такимобразом, ряд

n→∞

сходится абсолютно при -1<x<1. Рассмотрим точку x=-1. Полученный числовой ряд сходится условно. Рассмотрим точку x=1. Полученный числовой ряд расходится.

Теорема Абеля

Если степенной ряд при x0=0 сходится для положительного значания x =x1, то он сходится равномерно внутри промежутка x (-x1,x1). При этом его сумма S(x) является непрерывной в точке x1.

11

3. Ряд Тейлора

Определение 15

Пусть имеется функция f(x), дифференцируемая необходимое число раз на интервале её рассмотрения. Функция f(x) может быть представлена рядом Тейлора в окрестности точки x=a с помощью соотношения

Такой ряд может быть представлен в следующей форме

Выделенная в отдельное слагаемое функция имеет вид

иназывается остаточнымчленомвобщем виде. Возможны также и другие формы представления остаточного члена.

Определение 16

Частный случай ряда Тейлора, соответствующего разложению функции f(x) в окрестности точки x=0, т.е.

называется рядом Маклорена.

Некоторые разложения функций в ряд Маклорена

Пример 11

Разложим функцию f(x)=ex в ряд Маклорена. Такое разложение имеет следующий вид

Функции f(x)=ex, f(x)=1, f(x)=1+x, f(x)=1+x+x2/2, f(x)=1+x+x2/2+x3/6 представле-

ны на рис. 2 соответственно линиями 1, 2, 3, 4, 5.

12

Пример 12

Разложим функцию f(x)=sin(x) в ряд Маклорена. Искомое разложение имеет следующий вид

Применение разложения функций в степенной ряд

Применение разложения функций в ряд Тейлора для вычисления пределов Для раскрытия неопределённостей, возникающих при вычислении пределов, может быть использовано разложение функций в ряд Тейлора.

Пример 13

Вычислим предел lim sin (x). Для его вычисления воспользуемся разложением

x→0 x

функции в ряд Маклорена. После подстановки рассмотренного в предыдущем примере разложения синуса в данный предел получаем

функции в ряд Тейлора в окрестности точки x=1, которое имеет следующий вид

13