Материал: Ряды

Определение 6

∞

Если для ряда ∑an предела последовательности {SN} частичных сумм не су-

n=1

ществует, то ряд называется расходящимся.

Таким образом, понятие суммы определено только для сходящегося ряда. При этом (в отличае от понятия суммы конечного числа слагаемых) понятие суммы ряда вводится как операция предельного перехода.

Пример 1 Рассмотрим геометрическую прогрессию

N-ая частичная сумма ряда SN при q≠1 имеет вид

1+ q + q2 +... + qn−1 +... = (1−qn )(1−q).

При |q|<1 последовательность частичных сумм {SN} имеет предел, равный 1/(1- q). Таким образом, данный ряд сходится и имеет сумму, равную S =1/(1-q). При |q|>1 последовательность частичных сумм {SN} предела не имеет, т.е. при |q|>1 геометрическая прогрессия расходится.

Рассмотрим случай, когда |q|=1. При q=+1 частичная сумма SN равна N, что приводит к расходимости рассматриваемого ряда. При q=-1 частичная сумма SN равна +1 и -1, что приводит к совпадению с заведомо расходящейся последовательности 1, 0, 1, 0, … и, как следствие, к расходимости рассматриваемого ряда. Пример 2

Фиксировав любую точку x числовой прямой, проведём анализ сходимости следующих рядов

4

Может быть показано, что

ex = SN(1) + RN(1), sin (x)= SN(2) + RN(2), cos (x)= SN(3) + RN(3),

где RN(1), RN(2) и RN(3) - N-ые остаточные члены соответствующих рядов. Данные остаточные члены стремятся к нулю при N→∞.

Признаки сходимости рядов

1. Необходимый признак сходимости

Если ряд a1+a2+a3+…+an+… сходится, то lim un = 0 , т.е. общий член сходяще-

n→∞

гося ряда стремится к нулю.

2. Признак (теорема, критерий) сходимости Коши

∞

Для того, чтобы ряд ∑an сходился, необходимо и достаточно, чтобы для лю-

n=1

бого ε>0 существовал такой номер nε , что при любом n≥nε и любом целом p≥0 выполнялось неравенство

|an+an+1+…+an+p|<ε.

Из критерия Коши можно получить необходимое условие сходимости ряда. Рассмотренное неравенство выполняется для любого p≥0, в том числе и для p = 0. Поэтому для всех n≥nε получаем |an|<ε, а это из-за произвольности ε>0 соответ-

ствует lim un = 0 .

n→∞

Замечание 1

Следует заметить, что данный признак может быть использован и для анализа сходимости знакопеременных рядов.

Пример 3 Рассмотрим гармонический ряд

1+(1/2)+(1/3)+…+(1/n)+…

n-ый член ряда an=1/n стремится к нулю при n→∞, но рассматриваемый ряд расходится, т.к. для любого n=1, 2, … выполняется соотношение

un +un+1 +... +u2n−1 = 1n + n 1+1 +... + 2n1−1 > 21n + 21n +... + 21n = 2nn = 12 .

Таким образом, для любого n при ε=1/2 и p=n-1 неравенство

|an+an+1+…+an+p|<ε.

5

не выполняется.

3. Признак сравнения сходимости рядов

Тогда, (i) если один из данных рядов сходится, то сходится и другой ряд; (ii) если один из данных рядов расходится, то расходится и другой из ряд.

4. Признак (теорема, критерий) сходимости рядов Даламбера

Пусть дан ряд с положительными членами

∞

∑an , an>0, n=1, 2, …

n=1

Тогда

1) если существует такое число q, 0 < q <1, и такой номер n0, что для всех n≥n0

выполняется неравенство an+1/an≤q, то данный ряд сходится;

2) если существует такое число q, 0 < q < 1, и такой номер n0, что для всех n ≥n0

выполняется неравенство an+1/an≥1, то данный ряд расходится.

Замечание 2

Данный признак может быть использован и для анализа сходимости знакопеременных рядов.

Пример 4

∞ 1

Рассмотрим ряд n∑=1n!. В данном случае

Поэтому рассмотренный ряд сходится. Его сходимость можно установить,

∞ 1

сравнив со сходящимся рядом ∑ .

n=1 n2

5. Интегральный признак (интегральная теорема) сходимости

рядов с неотрицательными членами (Коши, Маклорен)

Если функция f(x), определённая при всех x≥1, неотрицательна и убывает, то

Рассмотрим ряд 1+(1/2α)+(1/3α)+…+(1/nα)+… с n-ым членом an=1/nα, n=1,2,… в

6

сходится при x>1 и расходится при x≤1. Поэтому и исходный ряд сходится при x>1 и расходится при x≤1.

Определение 7 Ряд сдействительными членами, знаки которых изменяются при изменении но-

мера, называются знакопеременными. Определение 8

Ряд с действительными членами, знаки которых поочерёдно то положительные, то отрицательные, называются знакочередующимися.

Определение 9 Знакочередующийся ряд, модули членов которого образуют невозрастающую

сходящуюся к нулю последовательность, называется рядом Лейбница.

6. Достаточный признак (теорема) сходимости рядов Лейбница

Если lim an = 0 и

n→∞

an≥an+1>0, n=1,2,…,

то знакочередующийся ряд

∞ (− )n+1

∑ 1 an

n=1

сходится. При этом любая частичная сумма Sn исходного знакочередующегося ряда отличается от его суммы S на величину, меньшую следующего члена an+1, т.е. абсолютная величина остатка ряда Rn в этом случае не превышает абсолютной величины его первого члена

|Rn|=|S-Sn|≤an+1.

Пример 6 Рассмотрим ряд

∞ (−1)n+1 n .

∑

n=1

Его члены удовлетворяют условиям рассмотренного признака, что подтверждает его сходимость. Заметим, что S1=1 и S2=1/2. Для его суммы получаем оценку: 1/2≤S≤1.

7. Абсолютная сходимость ряда

Определение 10

сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда.

7

Определение 11

∞

Ряд ∑an называется условно сходящимся, если он сходится, но соответствую-

n=1

щий ряд из модулей расходится. Пример 7

Рассмотрим пример условно сходящегося ряда. Покажем сходимость ряда

Так как соответствующий ряд из модулей (гармонический ряд) расходится, то для сходимости рассмотренного ряда достаточно показать, что рассмотренный ряд сходится (сходится к числу ln(2)). Рассмотрим следующее разложение в ряд Маклорена

Может быть показано, что сумма данного ряда равна ln(1+x). При 0≤x≤1 можно получить следующую оценку остаточного члена

Обозначая через Sn n-ую частичную сумму ряда (15.1) можно переписать последнее неравенство в следующем виде

|Sn-ln(2)|<1/(n+1).

Из данного соотношения следует, что разность Sn-ln(2) представляет собой последовательность бесконечно малых величин, уменьшающихся по модулю с ростом n. Это и доказывает сходимость ряда (13.1).

2. Функциональные ряды

Определение 12

Пусть на числовой прямой или в m-мерном пространстве задано некоторое множество {x}. Если каждому натуральному числу n из ряда 1,2,…,n,… ставится в соответствие по определённому закону некоторая функция fn(x), определённая

8