Материал: Ряды
Применение разложения функций в ряд Тейлора для вычисления интегралов
Для вычисления интегралов, не вычисляемых в элементарных функциях, также возможно использование разложения подынтегральной функции или её части в ряд Тейлора.
Пример 15
Вычислим интеграл ∫ sinx(x)d x . Для его вычисления воспользуемся разложени-
ем функции в ряд Маклорена. После подстановки рассмотренного ранее разложения синуса в интеграл получаем
|
sin (x) |
|
1 |
∞ |
(−1)n |
+ |
x2n−1 |
∞ |
(−1)n+1 |
|
∞ |
(−1)n+1 x2n−1 |
||
∫ |
|
d x =∫ |
|
∑ |
1 |
|
d x = |
∑ |
|
|
∫ x2n−2d x = |
∑ |
|
|
x |
|
|
|
(2n −1)! |
(2n −1)!(2n −1) |
|||||||||
|
|
x n=1 |
|
|
(2n −1)! |
n=1 |
|
n=1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Пример 16
Вычислим интеграл ∫ expx(x)d x . Для его вычисления воспользуемся разложе-
нием функции в ряд Маклорена. Подстановка данного разложения в интеграл получаем
|
exp (x) |
|
1 |
∞ |
xn |
∞ |
|
∫ |
x |
d x =∫ |
|
∑ |
|
d x = ∫ ∑ |
|
|
|
||||||
|
x n=0 |
n! |
n=0 |
||||
xn−1 |
|
∞ |
xn |
|
|
d x = |
∑ |
|
. |
n! |
|
|||
|
n=0 n!n |
|
||
Применение разложения функций в ряд Тейлора для приближённых вычислений
Если необходимо вычислить функцию в заданной точке с заданной точностью, то для этого может быть использование разложения функции в ряд Тейлора. Рассмотрим это на следующем примере.
Пример 17
Вычислить значение функции sin(18°) с точностью до 10-4. Для этого воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена. После подстановки в данное ранее разложение синуса значение угла в радианах (18°=π/10) получаем
o |
π |
|
|
|
π |
|
π3 |
|
π5 |
|
π7 |
|
|||
sin (18 |
)= sin |
|
|
|
= |
|
|
− |
|
+ |
|
− |
|
+... = |
|
10 |
10 |
3!103 |
5!105 |
7!107 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 0,314 −0,0052 + 2,628 10−7 −6 10−8 +...
Изданногосоотношенияследует, чтодлявычислениязначенияфункции sin(18°) с точностью до 10-4 достаточно первых двух членов разложения, т.к. остальные члены разложения по модулю меньше заданной точности. Таким образом, можно записать
sin(18°)≈0,314-0,0052=0,3088.
14
Пример 18
Вычислим значение функции cos(18°) с точностью до 10-4. Для этого воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена. После подстановки в рассмотренное ранее разложение косинуса значение угла в радианах (18°=π/10)
o |
π |
|
|
π2 |
|
π4 |
|
π6 |
|
|||
cos (18 |
)= cos |
|
|
|
=1− |
|
+ |
|
− |
|
+... = |
|
10 |
2!102 |
4!104 |
6!106 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
=1-0,0494+4,0587 10-4-1,3353 10-6+…
Изданногосоотношенияследует, чтодлявычислениязначенияфункцииcos(18°) с точностью до 10-4 достаточно первых трёх членов разложения, т.к. остальные члены разложения по модулю меньше заданной точности. Таким образом, можно записать
cos(18°)≈1-0,04935+4,05871 10-4=0,9511.
Применение степенных рядов для решения дифференциальных уравнений Решение дифференциального уравнения F (x, y, y',..., y(n))= 0 может быть опре-
делено в виде степенного ряда |
y = |
∞ |
∑an xn . На первом этапе коэффициенты an |
||
|
|
n=0 |
будем считать неизвестными. Для их определения подставим рассмотренный ряда в исходное дифференциальное уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x.
Пример 19 Рассмотрим уравнение
y'(x)+ 2 y = 4x .
Подстановка рассмотренного выше ряда в данное дифференциальное уравнение позволяет получить
∞ |
∞ |
∑n an xn−1 + 2 |
∑an xn = 4x . |
n=0 |
n=0 |
Далее приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x. В результате такй операции получаем
a1+a0=0; 2a2+2a2=4; 3a3+3a3=0; 4a4+2a3=0; 5a5+2a4=0; …; nan+2an-1=0; ...
Данная система уравнений может быть решена относительно произвольного коэффициента a0. Тогда
a1=-a0; an≥2=(-1)n2n+1(2+a0)/n!, |
y = a0 −a0 x + |
∞ |
(−1)n 2n+1(2 |
+ a0 ) |
x |
n |
. |
|
∑ |
|
|||||||
n! |
||||||||
|
|
n=0 |
|
|
|
|||
Пример 20
15
Рассмотрим уравнение
y'(x)+ y = cos (x).
В данном случае разложим функцию f(x)=cos(x) в ряд Маклорена. Далее подставим разложение косинуса и предполагаемую форму решения уравнения
y = |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∑an xn в рассматриваемое дифференциальное уравнение, что позволяет |
||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
∞ |
(−1)n |
x |
2n |
|
|
|
∑n an xn−1 + |
∑an xn = |
∑ |
|
|
. |
||
|
2n! |
|||||||
|
n=0 |
n=0 |
n=0 |
|
|
|||
Далее приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x. В результате такой операции получаем
a1+a0=1; 2a2+a1=0; 3a3+a2=-1/2; 4a4+a3=0; 5a5+a4=1/24;
…; (n +1)an+1 + an = |
(−1)sin (π n 4) |
1 −(−1)n+1 |
|
; ... |
|
2 |
(11n − 20)! |
||||
|
|
||||
Полученная система уравнений может быть решена относительно произвольного коэффициента a0. Тогда
1 |
|
(−1)sin (π n 4) |
1−(−1)n+1 |
|
||
an+1 = |
|
|
2 |
|
|
−an . |
n +1 |
(11n −20)! |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Ряд Фурье
Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд следующего вида
a |
0 |
∞ |
|
|
π n x |
∞ |
|
|
π n x |
|
+ ∑a |
|
cos 2 |
|
+ ∑b |
sin 2 |
, |
||
2 |
|
||||||||
n=1 |
n |
|
L |
n=1 |
n |
|
L |
||
где n – целое число, находящееся в пределах суммирования (в нашем случае n [1,∞]), x [a,b], L=b-a. рассмотренный ряд может иметь следующие эквивалентные формы
|
∞ |
|
π n x |
+ϕ |
|
, B |
∞ |
|
π n x |
+ψ |
|
||
A + ∑ A |
cos |
L |
|
+ ∑B |
sin |
L |
. |
||||||
0 |
n=1 |
n |
|
|
n |
0 |
n=1 |
n |
|
|
n |
||
При приближенной замене функции f(x) тригонометрической суммой
sn (x)= |
a |
0 |
N |
|
|
π |
|
+ ∑ an cos |
2 |
|
|||
2 |
|
|||||
|
n=1 |
|
|
|
||
среднеквадратическая ошибка
n x |
N |
|
|
π n x |
|
+ ∑ b |
sin 2 |
|
|
L |
n=1 |
n |
|
L |
16
U = 1 T∫[f (x)− sn (x)]2 d x
T 0
будет наименьшей, если коэффициенты an и bn выбрать следующим образом
|
2 |
L |
|
π n x |
2 |
L |
|
π n x |
an = |
|
∫ |
f (x)cos 2 |
d x , bn = |
|
∫ |
f (x)sin 2 |
d x , |
|
|
|||||||
|
L 0 |
|
L |
L 0 |
|
L |
||
где L – в данном случае является периодом тригонометрической функции. Замечание 3
Функция f (x) может быть разложена в ряд Фурье по функциям fn(x), отличным от тригонометрических, если они удовлетворяет следующим условиям
1) T∫ fn (x) fm (x) d x = 0 при m≠n и T∫ fn2 (x) d x ≠ 0 ;
0 |
0 |
2)функции fn(x) позволяют учесть и симметричную компоненту функции f (x),
ине симметричную компоненту функции f (x), и постоянную составляющую
|
|
|
2 L 2 |
|
|
|
π n x |
|
|
2 |
|
L |
|
|
|
|
|
|
π n x |
|
|
1 |
|
|
||||||
an = |
|
|
|
∫ cos |
2 |
|
d x + |
|
|
∫ |
(−1)cos |
2 |
|
d x = |
|
|
|
sin (π n)− |
||||||||||||
|
L |
L |
|
|
L |
π n |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
L L 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
− |
|
1 |
|
[sin (2π n)−sin (π n)] |
= |
2 |
sin |
(π n)− sin (2π n) |
|
= 0 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
π n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π n |
|
|
|
|
π n |
|
|
|
|
||||||
Вычисление коэффициентов bn позволяет получить |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
L 2 |
|
|
|
π n x |
|
2 |
|
L |
|
|
|
|
|
π n x |
|
1 |
|
[1 |
−cos (π n)]− |
|||||||||
bn = |
|
|
∫ sin |
2 |
|
|
d x + |
|
|
∫ |
(−1)sin |
2 |
|
|
d x = |
|
|
|||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
π n |
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
L |
|
L L 2 |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
||||||||||
−π1n [cos (π n)−cos (2π n)]= (−1)n π2n .
Вокончательной форме ряд Фурье имеет следующий вид
f (x)= |
4 |
∑∞ sin [2 (2n +1)x]. |
|
|
|||
|
π n=0 |
2n +1 |
|
17
Рассматриваемая функция, её первый член разложения в ряд Фурье и сумма её первых двух членов разложения в ряд Фурье представлены на рис. 3 (соответственно кривые 1, 2 и 3). Пример обратного разложения представлен на рис. 4.
f (x) |
2 |
|
1 |
3 |
|
||
|
|
||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
-1 |
|
|
|
0 |
L/2 |
L |
x-1 |
0 |
|||
|
Рис. 3. |
|
|
L/2 |
L |
Рис. 4.
Пример 22
Разложим функцию следующего вида: f (x)= 0, −π ≤ x ≤ 0 в ряд Фурье на ин-
x, 0 ≤ x ≤π
тервале x [-π,π] Вычисление коэффициентов an приводит к следующему результату
|
|
|
|
a = |
1 |
0∫ f (x)d x + |
1 |
π∫ f (x)d x |
= 0 + |
x2 |
|
= π , |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
2π −π |
|
|
|
|
2π 0 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|||||||
an≥1 = |
1 |
0∫ f (x)cos (n x)d x + |
1 |
π∫ |
f (x)cos (n x)d x = 0 + |
1 π∫sin (n x)d x = |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
π −π |
|
|
|
|
|
|
π 0 |
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
[cos (π n)−1]= (−1)n −1 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|||||
Вычисление коэффициентов bn позволяет получить |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
= [1−(−1)n ]πn . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
bn≥0 = |
1 |
−∫π f (x)sin (n x)d x + |
|
0∫ f |
(x)sin (n x)d x = − πn cos (π n) |
|
−π |
|||||||||||||||
π |
π |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
В окончательной форме ряд Фурье имеет следующий вид |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
|
|
|
∞ |
[1−(−1)n ]sin (n x). |
||||||||||
|
|
|
f (x)= π + ∑1−(−1) |
cos |
(n x)+ ∑ |
1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
n=1 π n2 |
|
|
|
n=1π n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.Применение рядов в экономике
Внастоящем разделе мы рассмотрим две задачи, касающиеся последовательно-
стей и рядов, применительно к экономическим задачам. Пусть имеется вклад 
(рублей) в банке. По прошествии определенного промежутка времени банк на-
18