Материал: Ряды. учебное пособие. Ускова Н.Б., Бондарев А.В
Н.Б. Ускова А.В. Бондарев А.В. Ряжских И.М. Пашуева
РЯДЫ
Учебное пособие
Воронеж 2017
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Н.Б.Ускова А.В. Бондарев А.В. Ряжских И.М. Пашуева
РЯДЫ
Утверждено учебно-методическим советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2017
УДК 517.9 ББК 22.161
Р 98 |
|
Ряды: учеб. пособие / Н.Б. Ускова, |
А.В. Бондарев, |
А.В. Ряжских, И.М. Пашуева. – Воронеж: |
ФГБОУ ВО «Во- |
ронежский государственный технический университет», 2017. 85 с.
В пособии рассматриваются основные вопросы теории рядов: числовые ряды, степенные ряды и ряды Фурье.
Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению 11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств», профиль «Проектирование и технология радиоэлектронных средств», направлению 12.03.01 «Приборостроение», профиль «Приборостроение», направлению 11.03.01 «Радиотехника», профиль «Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов» и специальности 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы», специализация «Радиоэлектронные системы передачи информации», дисциплине «Математика».
Ил. 1. Библиогр.: 7 назв.
Рецензенты: кафедра информатики и методики преподавания математики Воронежского государственного педагогического университета (зав. кафедрой канд. пед. наук, доц.
В.В. Малев); канд. физ.-мат. наук, доц. В.С. Купцов
Ускова Н.Б., Бондарев А.В., Ряжских А.В., Пашуева И.М., 2017
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017
ВВЕДЕНИЕ
В предлагаемом учебном пособии в кратком виде изложены основы теории рядов.
Учебное пособие состоит из 4 глав, в которых изложены следующие разделы: числовые ряды, функциональные и степенные ряды, ряды Фурье. Наряду с теоретическим материалом, по каждой теме разобраны примеры решения задач. В конце каждой главы даны задачи для самостоятельного решения. В 4 главе приведены задания для типового расчета по теме «Функциональные ряды».
Материал, представленный в учебном пособии, соответствует рабочим программам по направлению 11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств», профиль «Проектирование и технология радиоэлектронных средств», направлению 12.03.01 «Приборостроение», профиль «Приборостроение», направлению 11.03.01 «Радиотехника», профиль «Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов» и специальности 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы», специализация «Радиоэлектронные системы передачи информации»дисциплине «Математика».
3
1.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1.Основные понятия
Числовым рядом называется выражение вида
a1 a2 a3 ... an ... (1.1)
Числа a1,a2,a3,...,an,... называются членами ряда. Обычно ис-
пользуют краткую запись an для обозначения числового ря-
n 1
да.
Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной
n
суммой ряда и обозначается Sn . Таким образом, Sn ai .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
||||||
|
|
Пример. Рассмотрим ряд 1 |
|
|
|
... |
|
... |
|
, назы- |
||||||||||||
|
|
2 |
3 |
n |
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
||
ваемый гармоническим рядом. Для гармонического ряда S1 1, |
||||||||||||||||||||||
S |
|
1 |
1 |
|
3 |
, S |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
11 |
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
2 |
2 |
|
3 |
2 |
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Если существует конечный предел S последовательности |
||||||||||||||||||||
частичных сумм |
Sn , т.е. |
|
S limSn , |
то ряд называется сходя- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
щимся рядом, а число S – суммой ряда. Ряд называется расходящимся, если не существует конечного предела последовательности частичных сумм Sn .
Пример. Рассмотрим ряд
|
|
1 q q2 q3 ... qn ... qn , |
(1.2) |
n 1 |
|
называемый геометрической прогрессией. Известна формула для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии (частичной суммы ряда):
4