Материал: Ряды. учебное пособие. Ускова Н.Б., Бондарев А.В

Следовательно, в этом случае геометрическая прогрессия являя-

ется сходящимся рядом и ее сумма равна 1 .

Следовательно, в этом случае геометрическая прогрессия являяется расходящимся рядом.

n раз

ходится.

Пусть q 1, тогда ряд имеет вид 1 1 1 1 1 .... Его

частичная сумма Sn равна нулю при четных n и 1 при нечетных

n. Следовательно, не существует предела последовательности частичных сумм, и ряд расходится.

1.2. Свойства числовых рядов

Приведем далее некоторые теоремы, касающиеся числовых рядов.

Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа его членов, то сходится и данный ряд.

Справедливо и обратное утверждение. Если сходится данный ряд, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного чила его членов.

5

Доказательство. Рассмотрим ряд an . Пусть Sn – сум-

n 1

n

ма первых n его членов, Sn ai , k – сумма k отбрасыва-

i 1

емых членов (k n) и n k – сумма членов, вошедших в Sn и не вошедших в k . Таким образом, Sn k n k . Особо отметим,

что k есть величина построянная, от n не завясящая. В послед-

нем равенстве перейдем к пределу при n

limSn k lim n k .

n n

Следовательно, если существует limSn , то существует и

n

lim n k и наоборот. Теорема доказана.

n

Теорема 2. Если ряд a1 a2 a3 ... an ... an сходит-

n 1

ся и его сумма равна S, то ряд

ca1 ca2 ca3 ... can ... can ,

n 1

где с – некоторая константа, сходится и его сумма равна cS.

n

Доказательство. Пусть Sn ai – частичная сумма ряда

i 1

an , а n cai – частичная сумма ряда can . Очевидно,

что

n n

n ca1 cna2 ... can cai c ai cS .

i 1 i 1

Поэтому lim n limcSn cS . Теорема доказана.

n n

6

Теорема 3. Если ряды an и bn сходятся и их суммы

n 1 n 1

равны S1 и S2 , то ряды an bn и an bn также схо-

n 1 n 1

дятся и их суммы равны S1 S2 и S1 S2 соответственно.

Доказательство. Докажет утверждение теоремы только

n

n ai bi . Тогда

i 1

n a1 b1 a2 b2 ... an bn a1 a2 ... anb1 b2 ... bn S1n S2n.

Из теоремы 3 следует важное часто используемое правило: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

1.3. Признаки сходимости числовых рядов

Обычно важно знать не сумму ряда, ее в случае сходимости ряда легко можно посчитать численно, а сходится ряд или расходится. Далее будут сформулированы признаки сходимости числовых рядов.

1.3.1. Необходимый признак

Теорема. Если ряд an сходится, то

n 1

Доказательство. По определению, S limSn , но также по

n

определению, S limSn 1 . Вычитая из первого равенства второе,

n

7

Важно помнить, что необходимый признак не используется для определения сходимости ряда. Его используют только

следующим образом. Если liman 0, то ряд расходится.

n

Следовательно, ряд расходится.

1

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд n 1 n2 2 .

Об этом ряде по необходимому признаку ничено нельзя сказать. Далее, используя другой признак (признак сравнения) мы получим, что этот ряд сходится.

Об этом ряде по необходимому признаку ничено нельзя сказать. Из приводимого далее признака сравления следует расходимость этого ряда.

8

Переходим к достаточным признакам сходимости для числовых рядов с положительными членами.

1.3.2. Интегральный признак Коши

Теорема. Пусть общий член ряда an задается равен-

x n, n 1,2,3,..., значения f n , монотонгно убывает в неко-

тором промежутке a x , где a 1, то исходный ряд и не-

собственный интеграл f x dx ведут себя одинаково: или оба

a

сходятся, или оба расходятся.

Доказательство этой теоремы приводить не будем ввиду его громоздкости.

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл x1 dx.

1

Известно, что при a 1 интеграл сходится, а при a 1 – расхо-

1

дится. Следовательно, числовой ряд n 1 n сходится при a 1 и

1

расходится при a 1. В частности, гармонический ряд

n 1 n

расходится.

1.3.3. Признак сравнения

Рассмотрим два числовых ряда с положительными члена-

ми: an , его обозначим ряд (А), и bn , его обозначим ряд

(В).

Из признака сравнения для несобственных интегралов и интегрального признака Коши вытекают следующие теоремы.

Теорема. Пусть 0 an bn для всех достаточно больших n.

9