Материал: Ряды. учебное пособие. Ускова Н.Б., Бондарев А.В

Тогда из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А); из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

является расходящимся.

Теорема. Пусть для рядов (А) и (В) существует конечный и отличный от нуля предел lim an . Тогда ряды (А) и (В) ведут се-

бя одинаково: или оба сходятся, или оба расходятся.

1

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд n 1 n2 1.

то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или an .

n!

Так как l 0 1, то данный ряд сходится.

3n

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд n 1 n2 .

Решение. Вычисляем

Так как l 3 1, то данный ряд расходится.

11

1.3.5. Радикальный признак Коши

Теорема. Русть дан ряд с положительными членами an

Решение. Применим радикальный признак Коши:

Следовательно, ряд сходится.

1.4. Знакопеременные числовые ряды

Числовой ряд называется знкопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Числовой ряд вида

где an 0, нызывается знакочередующимся.

Для упрощения рассуждений далее мы будем рассматривать только знакочередующиеся ряды, хотя всё нижеизложенное верно для любого знакопеременного числового ряда.

Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (1.5) члены ряда таковы, что

и liman 0, то ряд (1.6) сходится, его сумма S положительна и

n

не превосходит первого члена, т.е. 0 S a1 .

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму

12

S2m a1 a2 a3 a4 ... a2m 1 a2m .

Сгруппируем в ней слагаемые следующим образом:

S2m a1 a2 a3 a4 ... a2m 1 a2m .

Из (1.6) следует, что в последнем равенстве каждая скобка положительна, поэтому частичная сумма S2m положительна и воз-

растает с ростом m.

Сгруппируем в S2m слагаемые по-другому:

S2m a1 a2 a3 a4 a5 ... a2m 2 a2m 1 a2m .

Опять же из (1.6) следует, что каждая скобка положительна, поэтому S2m не превосходит числа a1 .

Таким образом, последовательность частичных сумм S2m

возрастает и ограничена сверху числом a1 , следовательно, она

имеет предел, равный S, и 0 S a1 .

Теперь рассмотрим последовательность нечетных частичных сумм S2m 1. Очевидно, что S2m 1 S2m a2m 1 и

Таким образом, последовательность частиных сумм Sn при

любых n (четных или нечетных) сходится к пределу S. Теорема доказана.

Замечание. В приближенных вычислениях важной задачей является оценка погрешности при замене суммы ряда S его частиной суммой Sn . Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то оценивать соответствующую погрешность легко. Так как при замене S на Sn отбрасываются все члены ряда, начиная с an 1, то по сути отбрасывается знако-

чередующийся ряд 1 k 1 ak . Он является сходящимся ря-

k n 1

дом, и его сумма по теореме Лейбница не превосходит первого

13

члена, т.е. an 1. Таким образом, погрешность замены S на Sn не превосходит an 1.

Пример 1. Исследовать на сходимость по теореме Лейб-

то исследуемый ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость по теореме Лейбни-

поэтому ряд сходится по признаку Лейбница.

Пример 3. Исследовать на сходимость по теореме Лейбни-

Решение. Ряд расходится по признаку Лейбница, так как

14