Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
Е.В. Сандракова, Е.В. Сумин
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ
Рекомендовано к изданию УМО «Ядерные физика и технологии»
Москва 2014
УДК 512.64(075) ББК 22.143я7 С 18
Сандракова Е.В., Сумин Е.В. Дифференциальные формы на гладких мно-
гообразиях: учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2014. – 140 с.
Предлагаемое учебное пособие посвящено дифференциальным формам на гладких многообразиях. Рассмотрены алгебра форм, гладкие многообразия, интегрирование дифференциальных форм на гладких многообразиях, гомологии и когомологии гладких многообразий, основные понятия теории гомотопий и расслоение топологического пространства.
В учебном пособии приведены разбор и решение задач и примеров. Даны задачи и упражнения для самостоятельного решения.
Пособие написано на основе лекций, которые читались в Высшем физическом колледже НИЯУ МИФИ, и адресовано студентам этого колледжа, а также рекомендуется магистрам, научным сотрудникам и преподавателям НИЯУ МИФИ.
Работа выполнена при содействии ФЦП «Интеграция высшей школы и фундаментальной науки».
Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. НИЯУМИФИ А.П. Карташев
ISBN 978-5-7262-2005-5 |
© Национальный исследовательский |
|
ядерный университет «МИФИ», 2014 |
Г л а в а 1
АЛГЕБРА ФОРМ
§ 1. Сопряженные линейные пространства. Двойные (взаимные) базисы
Пусть X и X * – два линейных пространства над одним и тем же полем R (или С).
Определение 1.1. Говорят, что на прямом произведении X * × X задана свертка, если каждой упорядоченной паре элементов F и x,
F X * , x X поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое (F, x) так, что выполнены следующие условия:
1) линейность по первому аргументу:
F , F X * |
x X α , α |
2 |
R |
|||
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
(α1F1 + α2 F2 , x) = α1 (F1 , x) + α2 (F2 , x); |
||||||
2) линейность по второму аргументу: |
|
|
|
|
||
F X * x , x X β , β |
2 |
R |
||||
|
1 |
2 |
1 |
|
||
(F, β1 x1 +β2 x2 ) = β1 (F, x1 ) +β2 (F, x2 );
3) невырожденность по первому аргументу: если для некоторого F X * для любого x X (F, x) = 0 , то F = θ* – нулевой элемент
X * ;
4) невырожденность по второму аргументу: если для некоторого x X для любого F X * (F, x) = 0 , то x = θ – нулевой элемент пространства X.
Определение 1.2. Пусть X, X * – два линейных пространства над полем R.
3
Пространства X и X * называются сопряженными друг другу,
если на прямом произведении X * × X задана свертка. Отношение сопряженности линейных пространств взаимно.
Пусть теперь X и X * – два конечномерных линейных пространства над полем R, имеющих одну и ту же размерность n.
Пусть в X фиксирован базис e , ..., e |
|
, в X * |
– базис e1 , ..., en . То- |
||
|
1 |
n |
|
|
|
гда x X x = x1e +... + xne = x j e |
j |
(суммирование осуществля- |
|||
1 |
n |
|
|
|
|
ется по одинаковым индексам)
F X * F = F e1 |
+... + F en = F ei . |
|
1 |
n |
i |
Получаем выражение для свертки |
|
|
(F, x) = (Fi ei , x j ej )= Fi x j (ei , ej ); |
||
(F, x) = Fi x j |
(ei , ej ); |
(1.1) |
F, ei , i = 1, 2, …, n из X * , Fi R ; x, ej , j = 1, 2, …, n из X, x j R .
Из равенства (1.1) видно, что свертка будет определена, если зададим матрицу сверток базисных элементов, т.е. матрицу чисел
(ei , ej ), i, j = 1, 2, …, n. Для выполнения условий 3 и 4 определения свертки необходимо и достаточно, чтобы эта матрица была невырожденной: det (ei , ej )≠ 0 . Из сказанного видно, что для каждого
линейного пространства X можно построить бесконечно много сопряженных ему линейных пространств (точнее, по-разному сопряженных пространств).
Базисы e , ..., e |
в X и e1 , ..., en |
в X * можно выбрать так, чтобы |
||
1 |
n |
|
|
|
матрица (ei , ej ) |
оказалась единичной. |
|
||
Утверждение 1.1. Пусть X, X * |
– два линейных конечномерных |
|||
пространства над полем R и на |
X * × X |
задана свертка (F, x) , |
||
F X * , x X |
и пусть в X * выбран произвольный базис e1 , ..., en . |
|||
Тогда в X существует единственный базис |
e1 , ..., en взаимный (или |
|||
двойственный) базису e1 , ..., en , т.е. (ei , ej )= δij – символ Кронекера.
4
Аналогично, пусть в X задан произвольный базис e1 , ..., en . Тогда в X * существует единственный базис e1 , ..., en взаимный базису e1 , ..., en . Для доказательства этого утверждения нам потребуется следующая лемма.
Лемма 1.1. Для любого набора чисел α1, ..., αn из R существует единственный элемент u X , такой, что (ei , u) =αi , i = 1, 2, …, n, где e1 , ..., en – базис в X * .
Доказательство леммы 1.1. Пусть в X выбран какой-нибудь базис e1 , ..., en и u – произвольный элемент из X. Тогда u = u j ej – раз-
ложение u по базису e1 , ..., en .
Рассмотрим свертки (ei , u) = u j (ei , ej ), i = 1, 2, …, n. Положим u j (ei , ej )= αi . Задача нахождения элемента u свелась к решению, вообще говоря, неоднородной системы линейных уравнений с невырожденной матрицей (ei , ej ). А такая система имеет единствен-
ное решение.
Доказательство утверждения 1.1. Пусть X и X * – сопряжен-
ные линейные пространства.
1. Пусть e1 , ..., en – произвольный базис в X * . Для нахождения взаимного базиса e1 , ..., en в X достаточно в качестве наборов чисел α1, ..., αn брать последовательно наборы
1, 0, …, 0 e1 ; 0, 1, …, 0 e2 ; 0, 0, …, 1 en
из равенств (ei , ej )= δij , i , j = 1, 2, …, n вытекает линейная незави-
симость e1 , ..., en .
2. Аналогично, фиксируя базис e1 , ..., en , в X находится единственный базис e1 , ..., en в X * . Напомним определение взаимного или двойственного базиса сопряженных пространств X и X * .
5