Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

нейные формы, отображающие ( X * )k → R . Элементы пространства X будем называть векторами.

Определение 1.9. Элементы пространства F 0 = R будем называть о-формами; элементы пространства F 1 = X * будем называть 1-формами или формой степени 1 и обозначать F1 .

Элементы пространства F k =FXk = X * ... X * будем назы-

произвольных степеней k и l называется форма F k+l степени k + l , определенная следующим образом:

(x1, ..., xk , xk +1, ..., xk +l ) X k+l

F k +l (x1, ..., xk , xk +1, ..., xk+l ) = F k (x1, ..., xk ) × Fl (xk+1, ..., xk+l )

и обозначаемая как F k F l = F k +l .

Свойства тензорного умножения форм.

= F k (Fl F n ) .

Теорема 1.2. Пусть X – линейное пространство над полем R размерности n.

Тогда k , k = 1, 2, …, F k = FXk – линейное пространство размерности nk .

Доказательство. Пусть в X выбран базис e1, ..., en , а e1, ..., en – двойственный ему базис в X * .

11

Тогда, согласно теореме 1.1, любую k-форму F k : X k → R можно записать в виде

F k (x1, ..., xk ) = ai1...ik x1i1 ... xkik = ai1...ik ei1 (x1)... eik (xk ) = = ai1...ik (ei1 ... eik )(x1, ..., xk ) .

При этом данное представление единственно. Следовательно,

А тогда совокупность k-форм {ei1 ... eik }, 1 ≤ ij ≤ n , j = 1, 2, …, k

составляет базис в F k . Указанная совокупность состоит из nk

форм, следовательно, dimF k = nk .

Замечание 1.1.

1.Равенство двух форм F1k F2k F k понимается как тождественное совпадение отображений F1k : X k → R и F2k : X k → R .

2.Равенство Fk нулю означает, что F k : X k → 0 .

Замечание 1.2. Множество F ={F k }+∞k =0 форм на линейном пространстве X относительно введенных операций является гра-

дуированной алгеброй F = F k , в которой линейные операции выполняются в пределах каждого входящего в прямую сумму пространства F k и если F k F k , Fl F l , то F k F l F k +l .

§ 3. Кососимметрические формы

Пусть F k – линейное пространствоk-формнаX, введенноев§ 2.

Определение 1.11. k-Форма ω F k называется кососимметрической, если для любых двух различных i и j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n имеет место равенство:

ω(x1, ..., xi , ..., x j , ..., xk ) = −ω(x1, ..., xj , ..., xi , ..., xk ) .

Множество Ωk всех кососимметрических k-форм на X образуют линейное подпространство линейного пространства F k .

12

Это следует из косой симметрии форм ω1 + ω2 и λω , если

ωi Ωk , ω Ωk , λ R .

Из любой k-формы можно получить кососимметрическую k- форму. Для этого используется операция альтернирования форм.

Определение 1.12. Отображение A: F k → Ωk , определенное соотношением:

называется операцией альтернирования форм.

Свойства, операции альтернирования.

1.ωk Ωk Aωk = ωk .

2.F k F k A( AF k ) = AF k .

3.A : F k → Ωk – отображение «на».

4.F1k , F2k F k A(F1k + F2k )= AF1k + AF2k .

Читателю предоставляется доказать самостоятельно свойство альтернации.

Найдем A(ei1 ... eik ). С учетом того, что x X ei (x) = xi , i = 1, 2, …, n (см. § 2)

A(e j1 ... e jk )(x1, ..., xk ) = A(e j1 (x1)...e jk (xk ))=

13

Операция тензорного умножения, введенная в F не является замкнутой на кососимметрических формах, т.е. тензорное произведение двух кососимметрических форм, вообще говоря, не является кососимметрической формой. Поэтому на множестве всех кососимметрических форм вводится операция их внешнего произведения.

Определение 1.13. Пусть ωk Ωk , ωl Ωl , ωk – кососимметрическая k-форма, ωl – кососимметрическая l-форма.

Внешним произведением формы ωk на форму ωl называется кососимметрическая (k +l) -форма, обозначаемая ωk ωl и определяемая соотношением:

ωk ωl = (k +l)! A(ωk ωl ) . k!l!

Из определения альтернатора A и из его свойства 2 следует, что ωk ωl Ωk +l . В самом деле, x1, ..., xk +l X

A(ωk ωl )(x1, ..., xk +l ) =

=A(ωk ωl )(x1, ..., xk , xk +1, ..., xk +l ) =

=(k +1 l)!(ωk ωl )(xi1 , ..., xik , xik +1 , ..., xik +l )×

14

аэто форма (k +l) -й степени.

Атак как эта форма является альтернацией формы ωk ωl , то она кососимметрическая.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.1. X – линейное n-мерное пространство над полем R,

15