Определение 1.3. Пусть X * – сопряженное пространство линейному пространству X.
Базисы e1 , ..., en в X * и e1 , ..., en в X называются двойственными (или взаимными, или дуальными), если (ei , ej )= δij , i, j = 1, 2, …, n.
§2. Линейные и полилинейные формы
2.1.Линейные формы
Пусть X – линейное пространство над полем R размерности n и пусть F: X → R , заданная равенством:
x′, x′′ X α, β R F (αx′+βx′′) = αF (x′) +βF (x′′) ,
т.е. F(x) – вещественнозначная линейная функция аргумента
x X .
Определение 1.4. Любую вещественнозначную линейную функцию F: X → R назовем 1-формой на X, где X – линейное n- мерное пространство.
Рассмотрим FX ={F; F : X → R} – множество всех 1-форм на X. Относительно стандартных операций сложения функций и умножения функций на числа из R множество FX является линейным
пространством над полем R. Обозначим его через X *
F , F X * |
λ, μ R x X |
||
1 |
2 |
|
|
(λF1 + μF2 )(x) = λF1 (x) + μF2 (x) . |
|||
Нулевым элементом |
θ* |
в |
X * служит линейная функция, прини- |
мающая на каждом x X |
значение 0: |
||
|
x X θ* (x) = 0 . |
||
Утверждение 1.2. |
Размерность линейного пространства X * |
||
всех 1-форм на X, где X – линейное n-мерное пространство над полем R, равна n, т.е. dim X * = n .
Доказательство. Фиксируем произвольный базис e1 , ..., en в X. Тогда
x X x = x j ej .
6
Рассмотрим в X * 1-формы e1 (x), ..., en (x) , такие, что ei (ej ) = δij , ej X , j = 1, 2, …, n, i = 1, 2, …, n. Из задания 1-форм следует, что
они образуют линейно независимую совокупность в X * . Покажем теперь, что любая 1-форма F X * линейно выражает-
ся через формы e1 (x), ..., en (x) . F определяется однозначно, в силу своей линейности, значениями на базисных элементах e1 , ..., en пространства X.
Пусть F = F (e ) R . Тогда x X , |
x = x j e |
j |
|
||
i |
i |
|
|
|
|
F(x) = F(x1e +... + xne ) = (в силу линейности) |
|||||
|
1 |
n |
|
|
|
=F(x1e1 ) +... + F(xnen ) = x1F(e1 ) +... + xn F(en ) = x1F1 +... + xn Fn ,
атак как ei (ej ) = δij , то
F1 = F(e1 ) = F1e1 (e1 ) ; …;
Fn = F(en ) = Fnen (en ) .
Следовательно, F(x) = F (x j ej )= Fi x j ei (ej ) = F1 x1 +... + Fn xn . Откуда
и следует, что e1 (x), ..., en (x) |
образуют базис на X * и dim X * = n . |
||
Определим |
теперь |
свертку |
на X * × X следующим образом: |
F X * |
x X |
положим (F, x) = F(x) . Таким образом, линей- |
|
ное n-мерное пространство линейных функций на X или 1-форм на X является сопряженным пространством линейному n-мерному пространству X.
И базисы e , ..., e |
в X и e1 (x), ..., en (x) в X * , где ei (e |
j |
) = δi , |
i, |
|
1 |
n |
|
j |
|
|
j = 1, 2, …, n являются двойственными. |
|
|
|
||
Пусть теперь произвольный x X разложен по базису e1 , ..., en |
|||||
в X, e1 , ..., en – двойственный базис в X * |
|
|
|
||
|
|
x = x j ej . |
|
|
|
Тогда ei (x) = ei (x j ej |
)= x j ei (ej ) = xi – i-я координата элемента x |
в |
|||
базисе e1 , ..., en |
в X. |
|
|
|
|
7
Подведем итог сказанному.
Координатная запись 1-форм e1 (x), ..., en (x) в X * при употреблении взаимного базиса в X оказывается наиболее простой, все коэффициенты формы ei (x) равны нулю, кроме одного, который занимает i-е место и он равен единице. Вместе с тем можно сказать,
что координаты любого элемента x X |
в базисе e1 , ..., en суть зна- |
||||
чения на этом элементе форм взаимного базиса в X * . |
|||||
Это выражается равенством: |
|
|
|||
x = x j e |
j |
= e j (x)e |
j |
= e1 (x)e +... + en (x)e . |
|
|
|
1 |
n |
||
2.2. Полилинейные формы
Пусть X – линейное пространство над полем R размерности n. Рассмотрим его k-кратное прямое произведение на себя
X k = X × X ×...× X (k раз).
По определению пространства X k его элементами являются упорядоченные наборы элементов из X, взятые в числе k, т.е.
(x1, ..., xk ) X k , если xi X , i = 1, 2, …, k.
Определение 1.5. Вещественной полилинейной формой называ-
ется отображение Fk : X k → R линейное по каждому аргументу, т.е.
F k = F k (x , ..., x ) , |
x X , i = 1, 2, …, k; |
|
1 |
k |
i |
i , i = 1, 2, …, k α, β R xi′, xi′′ X xi X
F k (x1, x2 , ..., xi−1, αxi′ +βxi′′, xi+1 , ..., xk ) = =αF k (x1, ..., xi−1, xi′, xi+1, ..., xk ) + +βFk (x1, ..., xi−1, xi′′, xi+1 , ..., xk ) .
Теорема 1.1. Пусть X – линейное n-мерное пространство над полем R, e1 , ..., en – базис в X и Fk : X k → R . Тогда существует на-
бор чисел {ai1...ik }, ai1...ik R , 1 ≤ ij ≤ n , таких, что
8
(x1, ..., xk ) X k F k (x1, ..., x2 ) = ai1...ik x1i1 ...xkik ,
где xijj – координаты xj в базисе e1, ..., en в X.
Доказательство. Пусть e1, ..., en базис в
X x1 = x1i1 ei1 , ..., xk = xkik eik
и пусть F k (x , ..., x ) : X k |
|
→ R – произвольная полилинейная фор- |
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ма на X. Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
F k (x , ..., x ) = F k (xi1 e , ..., xik e ) = |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
k |
|
|
1 i |
|
k |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
= xi1 |
...xik F k (e , ..., e |
) = a |
|
xi1 |
...xik . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
i |
|
i |
i |
...i 1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
k |
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
Положили a |
...i |
= Fk |
(e , ..., e |
) – значение формы Fk |
на базис- |
||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
k |
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ных векторах пространства X. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Можно считать, что при выборе базиса в X полилинейная форма |
|||||||||||||||||||
отождествляется с набором чисел {ai1...ik }. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пусть |
теперь |
|
в |
X |
|
выбран |
другой |
базис |
e1, ..., en |
и |
|||||||||
ai1...ik = F k (ei1 , ..., eik ). Пусть ej = cijei , j = 1, 2, …, n. Находим тен- |
|||||||||||||||||||
зорный закон преобразования числовых наборов ai |
...i |
, ai |
...i |
, отве- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
1 |
k |
|
|
чающих одной и той же форме Fk : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a j1... jk |
= F |
k |
(ej1 , ..., ejk |
|
)= F |
k |
i1 |
|
|
ik |
|
|
i1 |
ik |
|
|
|||
|
|
|
(cj ei1 , ..., c jk eik |
)= ai1...ik cj1 ...cjk . |
|
||||||||||||||
Если в X * |
подобрать взаимный базис e1, ..., en базису e , ..., e |
из |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
X, ei (ej ) = δij , i, j =1, …, n, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
F k (x , ..., x ) = a |
|
xi1 |
... xik |
= a |
|
ei1 (x )... eik (x ) , |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
k |
i |
|
...i 1 |
|
k |
i ...i |
|
1 |
|
k |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
так как
ei1 (x1) = ei1 (x1j1 ej1 )= x1j1 ei1 (ej1 ) = x1i1 ; …;
eik (xk ) = eik (xkjk ejk )= xkjk eik (ejk )= xkik .
9
Можно было вначале выбрать базис в X * , |
т.е. взять упорядочен- |
||||||||||||
ный набор линейно независимых линейных форм |
e1(x), ..., en (x) , |
||||||||||||
ei : X → R , а затем подобрать в X взаимный ему базис e , ..., e . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
Итак, полилинейная форма F k : |
|
X k → R при выборе одного из |
|||||||||||
базисов в X или в |
X * |
однозначно определяется набором чисел |
|||||||||||
{ai1...ik }. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
фиксированное |
|
число |
k |
|
и множество |
|||||||
FXk ={F k : X k → R} – |
множество |
всех |
полилинейных |
форм |
|||||||||
F k (x , ..., x ) , |
x X . Введем в F |
k |
естественные операции сло- |
||||||||||
1 |
k |
i |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
жения форм и умножения на число из R: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
F k , F k F |
k |
(x , ..., x ) X k |
|
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
|
X |
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
(F k + F k )(x , ..., x ) = F k (x , ..., x ) + F k |
(x , ..., x ) , |
|
||||||||||
|
1 |
2 |
1 |
k |
|
1 |
1 |
k |
2 |
1 |
k |
|
|
|
F k F k |
λ R |
|
(x , ..., x ) X k , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
(λF k )(x , ..., x ) = λF k (x , ..., x ) . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
k |
|
|
1 |
k |
|
|
|
Относительно этих операций FXk |
является линейным пространст- |
||||||||||||
вом над полем R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
FXk |
|
|
||
Определение 1.6. Линейное пространство |
полилинейных |
||||||||||||
форм на X называется k-кратным тензорным произведением сопряженного линейному пространству X линейного пространства X * на себя. Обозначать его будем F k =FXk = X * ... X * .
Определение 1.7. Полилинейные формы как элементы линейно-
го пространства F k называются ковариантными тензорами валентности k в X.
Определение 1.8. Линейные формы как элементы пространства
F 1 = X * называются одновалентными тензорами или ковалентными векторами или ковекторами.
Обозначим действительную ось R через F 0 и назовем действительные числа тензорами нулевой валентности.
Если мы поменяем местами линейные пространства X и X * , то получим контравариантные тензоры валентности k, как полили-
10