Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Задача 7.12.

А. Пусть X и ω – гладкое векторное поле и гладкая 1-форма на гладком многообразии M n . Пусть ωX означает применение ω к вектору поля X в соответствующих точках многообразия M n . По-

кажите, что ωX – гладкая функция на M n .

Б. Покажите, что имеет место следующее соотношение:

dω1( X , Y ) = X (ω1Y ) −Y (ω1 X ) −ω1([ X , Y ]) ,

где X, Y – гладкие векторные поля; dω1 – дифференциал 1-формы ω1 ; dω1( X , Y ) – применение dω1 к парам связанных с одной точкой x M n векторов полей X, Y.

С. Проверьте, что в общем случае формы ωm степени m справедливо соотношение:

Поскольку скобка Пуассона определена инвариантно, то полученное соотношение можно расценивать как довольно сложное, но инвариантное определение оператора d: Ω → Ω внешнего дифференцирования.

Д. Пусть ω – гладкая m-форма на гладком n-мерном многообра-

126

(λξ1, ..., λξm+1 )i . Π и λΠ – прообразы этих параллелепипедов при отображении hi−1 , т.е.

Π = hi−1(Πi ) Ai M n , λΠ = hi−1 (λΠi ) Ai M n .

Покажите, что

Задача 7.13.

А. Используя теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения

x = ν(x) ,

а также гладкую зависимость решения от начальных данных, покажите, что гладкое ограниченное векторное поле ν(x) в Rn мож-

но рассматривать как поле скоростей установившегося течения. Точнее, покажите, что существует такое гладко зависящее от

параметра (времени) t семейство диффеоморфизмов ϕt : Rn → Rn ,

Отображение ϕt : Rn → Rn характеризует перемещение частиц среды за время t.

Проверьте, что семейство отображений ϕt : Rn → Rn является однопараметрической группой диффеоморфизмов, т.е.

(ϕt )−1 = ϕ−t , ϕt2 Dϕt1 = ϕt2 +t1 .

Б. Пусть ν – векторное поле в Rn , а ϕt – однопараметрическая группа диффеоморфизмов Rn , порожденная полем ν. Проверьте,

127

что для любой гладкой функции f C(∞) (Rn , R) имеет место соотношение

С. Теперь естественно определяется и дифференцирование за-

данной в Rn гладкой формы ω любой степени вдоль поля ν. А именно, положим

(LX1 ω1 )(x) = (LX 2 ω2 )(x) .

2.LX Ωk (M n ) Ωk (M n ) .

3.LX : Ωk (M n ) → Ωk (M n ) – линейное отображение при любом

k = 1, 2, … .

4.LX (ω1 ω2 ) = (LX ω1) ω2 + ω1 (LX ω2 ) .

5.Пусть f Ω (M n ) . Тогда LX f = df ( X ) = Xf .

6. Пусть f Ω (M n ) . Тогда LX df = d( Xf ) .

128

Е. Проверьте, что указанные выше свойства 1–6 однозначно определяют операцию LX .

Задача 7.14. Пусть X – некоторое поле, а ω – форма степени k на гладком многообразии.

Определение 7.4. Внутренним произведением поля X и формы ω называется (k −1) -форма, обозначаемая iX ω или через X ω и определяемая следующим соотношением:

(iX ω)( X1, ...., Xk −1 ) = ω( X , X1, X2 , ..., Xk −1 ) ,

где X1 , X2 , ..., Xk −1 – векторные поля на M n .

Для о-форм, т.е. функций на M n , положим X f = 0 .

iX df = X i ∂∂xfi = X ( f ) = DX f .

С. Пусть X (M n ) – пространство векторных полей на многооб-

разии M n , а Ω(M n ) – кольцо кососимметрических форм на M n . Покажите, что существует только одно отображение

i : X (M n ) ×Ω(M n ) → Ω(M n ) ,

обладающее следующими свойствами:

129

1) i – локальная операция, т.е. если поля X1 , X2 и формы ω1 , ω2 соответственно совпадают в окрестности U точки x M n , то

(iX1 ωi )(x) = (iX 2 ω2 )(x) ;

2)iX (Ωk (M n )) Ωk−1(M n ) ;

3)iX : Ωk (M n ) → Ωk−1(M n ) – линейное отображение;

4)если ω1 Ωk1 (M n ) , ω2 Ωk2 (M n ) , то

iX (ω1 ω2 ) = iX ω1 ω2 + (−1)k1 ω1 iX ω2 ;

5) если ω Ω1(M n ) , то iX ω = ω( X ) , а если f Ω (M n ) , то iX f = 0 .

Задача 7.15. Докажите следующие утверждения.

А. Операторы d, iX , LX удовлетворяют тождеству гомотопии

LX = iX d + diX ,

где X – любое гладкое векторное поле на многообразии. Б. Производная Ли коммутирует с d и iX , т.е.

(основным в задаче является п. А). Его можно проверить, например, индукцией по степени формы, на которую действуют операторы).

Задача 7.16.

А. Докажите, что любая односвязная область в R2 стягиваема по себе в точку.

Б. Покажите, что в R3 предыдущее утверждение, вообще говоря, не имеет места.

130