Материал: САПР технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

Рис. 37. Окно пост-процессора САПР «МАКС»

Большинство современных САПР выполняют построение сетки конечных элементов автоматически, используя стандартные системные установки или руководствуясь установками, определяемыми пользователем. Функции анализа вычисленных характеристик предоставляет пост-процессор рассматриваемых систем, к основным возможностям которого можно отнести следующее:

- Нагрузки и закрепления прикладываются непосредственно к геометрии модели и отображают воздействие внешней среды

- Необходимая точность получения результата задается до начала расчета путем установки требуемой сходимости автоматически проверяет возможные ошибки, проводит вычисления и генерирует информацию о сходимости для последующей верификации;

- Для выполнения анализа чувствительности можно выбрать один или несколько параметров модели и проварьировать их в заданных диапазонах, и затем посмотреть к каким результатам приводят эти изменения;

- Расчет локальной чувствительности при небольших отклонениях параметра от его номинальной величины позволяет определить параметры, изменение которых оказывает наибольшее влияние на структурное состояние конструкции;

- Можно строить векторные результаты расчетов перемещений и главных напряжений, а также результаты расчетов для участков модели, представленных стержнями, создавать анимацию перемещений, получать изображения форм колебаний, видеть как изменялась геометрия конструкции в процессе оптимизации;

- Определив некоторую меру (measure) можно строить графики ее изменения "на каждом шаге" в линейном, полулогарифмическом, и логарифмическом масштабах;

- Можно получить обобщенные оценки для всех результатов расчетов (минимум, максимум, максимальное абсолютное значение, среднеквадратичное значение).

Результаты расчета в окнах проекта отображаются для активной задачи. Результаты расчета анализируются с помощью построения изополей напряжений, деформаций и перемещений. В результате выполнения расчета определяются напряжения и деформации в центре тяжести каждого элемента. Эти результаты определяются в локальных координатах элементов.

Для отображения изополей выбирается плоскость с прямоугольной системой координат, на оси которой проецируются напряжения и деформации в центре тяжести каждого элемента. Затем напряжения и деформации приводятся к узлам конечно-элементной сетки, путем их распределения в соответствии с числом элементов примыкающих к узлу.

Отображение результатов и анимация осуществляется с помощью графических функций, к которым: изображение линий, граней, скрытых частей объекта, различных видов; изображение прозрачных объектов; управление цветом; линии уровня на поверхности; разрезы; линии уровня в разрезе; поверхности уровня; линии тока в векторном поле; трассировка векторного поля; симметрии; мультипликация динамических результатов; измерение положений точек и расстояний; идентификация данного объекта среди многих других; выделение видимых и невидимых объектов; управление видами; составление твердой копии или видеозаписи; автоматическое повторение некоторых действий. Указанная пост-процессорная обработка результатов может проводиться не для всех элементов, а только для части элементов, которые объединены в группу.

Эту возможность часто необходимо использовать в пространственных расчетных схемах, где треугольные элементы могут лежать во взаимно перпендикулярных плоскостях и испытывать различное напряженно-деформированное состояние, вследствие чего нельзя обрабатывать результаты сразу для всех элементов. Построение изополей для группы объектов также позволяет более детально проанализировать результаты для отдельного фрагмента расчетной схемы. Для просмотра результатов предусматриваются следующие режимы:

- отображение модели в режиме прозрачных элементов;

- отображение модели при непрозрачных пластинах;

- просмотр результатов расчетов;

- просмотр зон контактов.

Вопросы для самоподготовки:

1. Опишите особенности архитектуры современных САПР МКЭ?

2. На каких принципах основаны алгоритмы построение разбиения МКЭ?

3. Охарактеризуйте возможности визуализации результатов моделирования МКЭ?

Лекция №13 Математическое моделирование физических процессов на основе мкэ

Теоретические вопросы:

13.1. Применения метода конечных элементов

13.2. Математические методы моделирования физических процессов

13.3. Решение задач методом конечных элементов

13.1. Применения метода конечных элементов

Впервые метод конечных элементов в инженерной практике был применен в 50-х годах XX века. При этом были предприняты попытки применить матричные методы для дискретных структур к непрерывным структурам путем разбиения их на конечное число элементов.

Метод конечных элементов первоначально появился в строительной механике, но в последующее десятилетие было установлено, что основные понятия метода могут иметь более широкое применение и они начали использоваться в ряде других областей.

В дальнейшем метод конечных элементов развивался весьма интенсивно, и сейчас он широко применяется во многих научных и инженерных приложениях. Хотя существует большое разнообразие в формулировках, метод конечных элементов может быть охарактеризован следующими свойствами:

1) физическая область задачи делится на подобласти, или конечные элементы;

2) зависимая переменная (одна или несколько) аппроксимируется функцией специального вида на каждом конечном элементе, и, следовательно, во всей области. Параметры этих аппроксимаций в последующем становятся неизвестными параметрами задачи;

3) подстановка аппроксимаций в определяющие уравнения (или эквивалентные им) дает систему множества уравнений с неизвестными параметрами. Решая эти уравнения, можно определить значения этих параметров и, следовательно, получить приближенное решение задачи.

Распространение метода конечных элементов на другие задачи в начале 60-х годов XX века было предпринято на основе вариационного подхода. Относительно недавно дополнительно к вариационному методу конечных элементов, который можно назвать классическим, начали использоваться другие методы конечных элементов.

Наиболее известные из них - метод Галеркина, который является частным случаем взвешенного метода невязок, метод наименьших квадратов, процедура, называемая прямым методом, и метод глобального баланса, или метод Одена.

Сегодня метод конечных элементов в настоящее время применяется в следующих областях инженерной деятельности: летальные аппараты, автомобили, суда; стальные и железобетонные мосты; каркасы зданий; влияние землятресений на плотины и дамбы; механика горных пород; пластичность и механика разрушения конструкционных материалов; динамика затопленных конструкций; композитные материалы; вязкие, звуковые и сверхзвуковые течения; звуковая локация; акустические поля; электромагнитные поля; проектирование магнитов; газовая динамика плазмы; потоки в ядерных реакторах; движение ледников; тектонические движения плит; поверхностные и подземные водные потоки; проектирование нефте- и газохранилищ; биомеханика, движение сока в деревьях; распространение загрязнений в морских заливах; поверхностные волны; самовоспламенение; статистика.

13.2 Математические методы моделирования физических процессов

При моделировании физических процессов, связанных с решением дифференциальных уравнений теории упругости и теории поля (тепловые, фильтрационные, диффузионные, деформационные, гидродинамические, электродинамические и т.п. процессы), наиболее часто используют следующие методы численного решения: метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объемов, метод граничных элементов.

Наиболее «сильным» методом, вероятно, следует считать метод граничных элементов (МГЭ), т.к. в своей основной формулировке он предполагает в пределах граничного элемента аппроксимацию распределения искомой функции (например, функции температур) непосредственно по исходному дифференциальному уравнению, которым описывается моделируемый процесс. (В других методах аппроксимация в рамках дискретной ячейки более искусственна.)

Кроме того, при использовании МГЭ происходит понижение пространственного порядка, что теоретически ускоряет решение и снижает требования к ресурсам вычислительной техники. Однако, при моделировании литейных процессов МГЭ практически не используется, т.к. не смотря на свои многие положительные качества требует однородности физических свойств в рамках крупных граничных элементов.

Это не соответствует физике большинства литейных процессов связанных с существенным изменением параметров процесса в локальных произвольных областях – например, при тепловыделении при затвердевании.

Метод конечных объемов (МКО) в определенном смысле является развитием разностных методов, хотя иногда рассматривается как некоторая промежуточная стадия между методом конечных разностей (МКР) и методом конечных элементов (МКЭ). Это вероятно не совсем справедливо, т.к. хотя МКО и учитывает произвольно ориентированные границы внутри разностной ячейки, но в основе своей предполагает ортогональную разностную разбивку (дискретизацию) на прямоугольные параллелепипеды и обладает рядом других особенностей присущих разностным методам. Во всяком случае, МКО пока не получил при моделировании литейных процессов широкого распространения. (Кроме, пожалуй, задачи заполнения, где применение МКЭ затруднено, а МКР не дает необходимого соответствия по геометрии заполняемой полости.)

Неширокое распространение МКО вероятно связано именно с «промежуточным» характером метода - в тех случаях, когда необходимы произвольно ориентированные границы, лучше использовать собственно МКЭ, а когда допустимо представление геометрии в виде набора параллелепипедов, то проще решать задачу классическим МКР.

13.3. Решение задач методом конечных элементов

При расчете методом конечных элементов предполагается, что граничные условия не изменяются в процессе нагружения ни по величине, ни по направлению, а жесткость не зависит от деформаций.

На первом этапе расчета выполняется дискретизация объема, занимаемого телом, на элементарные области: для объемного тела – на тетраэдры с гранями, аппроксимируемыми линейными или параболическими функциями координат; для поверхностных моделей – плоскими и криволинейными треугольниками.

Эти области именуются конечными элементами (КЭ). Помимо этого при подготовке конечно-элементной модели могут использоваться следующие типы элементов (см. табл. 12).

Таблица 11

Типы конечных элементов

При этом каждый из типов КЭ может реализовываться по-разному: так, объемные КЭ, как правило, встречаются в виде тетраэдров и шестигранников, оболочечные бывают треугольными и четырехсторонними, плоскими и криволинейными и т.д. Но общим остается одно: расчет может существовать только тогда, когда КЭ сетка построена.

Построение КЭ сетки называется дискретизацией. В вершинах (для линейных КЭ), а также около середин сторон (для параболических) располагаются узлы. В узлах задаются либо вычисляются перемещения или усилия. Для пространственных КЭ степенями свободы являются перемещения в направлении осей некоторой системы координат – будем предполагать, что она общая для всех узлов в теле. Для конечных элементов оболочек к трем перемещениям добавляются по три угла поворота нормали к срединной поверхности в каждом узле относительно тех же осей.

В пределах каждого элемента перемещение аппроксимируются линейной (элемент первого порядка) или параболической (элемент второго порядка) функциями. Этими же функциями для изопараметрических элементов аппроксимируются и форма конечных элементов.

Уже сама идеализация, приводящая исходную конструкцию к совокупности конечных элементов, связанных между собой лишь в узловых точках требует, чтобы напряженное состояние в каждом из конечных элементов однозначно определялось через значения узловых перемещений . Связь между конечными элементами вызывает в узловых точках реактивные усилия взаимодействия . Каждый из конечных элементов оказывается нагруженным этими усилиями. Между узловыми усилиями и узловыми перемещениями существует определенная связь:

, (13.1)

где , - векторы-столбцы узловых усилий и перемещений;

- матрица жесткости, определяющая упругие свойства рассматриваемого элемента.

В результате наложения граничных условий (кинематических – перемещений, статических – усилий) тело деформируется. Если нагрузки распределенные, то они должны приводится к сосредоточенным.

Во избежание перемещения системы как абсолютно жесткого тела необходимо ввести определенное число кинематических закреплений в отдельных ее узлах. В общем случае число таких закреплений, которые позволяют исключить поступательное и вращательное движение как жесткого тела, равно шести. Напряжения определяются по формуле (), которая с учетом () перепишется в виде:

(13.2)

где - матрица напряжений, зависящая от координат рассматриваемой точки и упругих характеристик материала. В формулы для расчета компонентов матрицы жесткости конечных элементов входят модули упругости и коэффициенты Пуассона материалов.

Для каждого конечного элемента вычисляется матрица жесткости. Произведение матрицы жесткости на столбец перемещений в узлах элемента дает столбец усилий в узлах. Матрица жесткости полностью определяет жесткостные свойства рассматриваемого конечного элемента. Имея матрицы жесткости для отдельных элементов, можно получить общую или глобальную матрицу жесткости рассматриваемой области следующим образом:

(13.3)

где - матрица связи номеров степеней свободы при общей (для всей области) и местной (для данного i-го элемента) системах координат;

- матрица жесткости i-го элемента.