Материал: Сборник профессионально-ориентированных задач по теоретической механике с решениями. Артемов М.А., Пачевская Г.Н

ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет»

Кафедра теоретической и прикладной механики

Кафедра автоматизированного оборудования

машиностроительного производства

Сборник профессионально-ориентированных задач по теоретической механике с решениями

для студентов специальностей

151001 «Технология машиностроения»,

151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы»,

150201 «Машины и технология обработки металлов

давлением», 220402 «Роботы и робототехнические системы», 150202 «Оборудование и технология сварочного

производства» очной и очно-заочной форм обучения

Часть 2. Динамика, аналитическая механика

Воронеж 2009

Составители: д-р физ.-мат. наук М.А. Артемов,

канд. физ.-мат. наук Г.Н. Пачевская,

канд. техн. наук В.М. Пачевский

УДК 534 (075)

Сборник профессионально-ориентированных задач по теоретической механике с решениями для студентов специальностей 151001 «Технология машиностроения», 151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы», 150201 «Машины и технология обработки металлов давлением», 220402 «Роботы и робототехнические системы», 150202 «Оборудование и технология сварочного производства», очной и очно-заочной форм обучения. Ч. 2: Динамика, аналитическая механика / ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. М.А. Артемов, Г.Н. Пачевская, В.М. Пачевский. Воронеж, 2009. 30 с.

Настоящий сборник представляет собой систематизированную подборку задач и примеров по всем основным разделам теоретической механики, заключающуюся в ориентации на будущую специальность. Все задачи имеют, как правило, схематическое решение, без подробных разъяснений. Приведены вопросы для самоконтроля.

Сборник задач рассчитан на использование студентами, уже получившими необходимые теоретические сведения во время практических и индивидуальных занятий, при выполнении курсовых и дипломных проектов.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word и содержатся в файле Сб. зад. по ТМ. Ч. 2 .doc.

Ил. 10. Библиогр.: 10 назв.

Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доц. А.А. Воропаев

Ответственный за выпуск зав. кафедрой профессор

Д.В. Хван

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

© ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет», 2009

Сборник профессионально-ориентированных задач (раздел: динамика, аналитическая механика) является второй частью единого сборника профессионально-ориентированных задач по теоретической механике (с решениями) [10]. Задачи, включенные в этот сборник, так или иначе, представляют интерес для всех механических специальностей и, особенно, для специальностей 151002 (Автоматизированное оборудование машиностроительного производства) и 220402 (Роботы и робототехнические системы).

Не представляется возможным рассмотреть решение всех задач в аудитории из-за сокращения объема курса «Теоретическая механика» в одно- и двухсеместровых курсах. Однако используемая терминология, выбранные для исследования механизмы, постановка задачи исследования и полученные соотношения рассматриваются и анализируются в специальных дисциплинах: теория резания, автоматизация оборудования и др.

Выполняя домашнее задание с использованием сборника профессионально-ориентированных задач, студенты наглядн6о убеждаются в том, что теоретическая механика является научной основой современной техники.

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

A – амплитуда колебаний;

a – ускорение;

C_i – постоянные интегрирования, коэффициенты;

c – жёсткость, коэффициент жесткости;

D – функция рассеивания (диссипация);

E – модуль упругости первого рода;

F – площадь поперечного сечения; сила;

F₀ – амплитуда возмущающей силы;

F(t) – возмущающая сила;

G – вес; сила;

f – коэффициент трения покоя или трения скольжения;

J – момент инерции массы;

l – длина;

М – момент силы;

m – масса;_

N – нормальная реакция связи; мощность;

р₀ – собственная частота колебаний;

Q – сила, обобщенная сила;

q – обобщенная координата;

R – реакция опоры;

r – радиус;

T – кинетическая энергия; период колебаний;

t – время;

– скорость;

X_i, Y_i, Z_i – проекции сил на координатные оси;

П – потенциальная энергия;

 – коэффициент вязкого трения;

 – коэффициент трения качения;

– угловое перемещение;

 – малый параметр; динамический коэффициент вязкости;

 – плотность материала;

 – нормальное напряжение;

 – время; касательное напряжение;

 – угловая частота (скорость) вращения;

_ – частота свободных затухающих колебаний;

 – коэффициент полезного действия.

Принцип возможных перемещений

Задача 1. Найти зависимость между давлением p в гидроцилиндре и силой тяжести Q равномерно поднимаемого груза. Массами блоков и троса пренебречь (рис.1).

Рис. 1

РЕШЕНИЕ. Разложим силу давления , приложенную в точке С стержня АВ, на две одинаковые составляющие силы F/2, приложенные в точках А и В. Применим к механической системе, находящейся в состоянии равномерного движения, принцип возможных перемещений:

Точка P является мгновенным центром скоростей блока 1, a стержень АВ сохраняет в процессе перемещения горизонтальное положение. Отсюда следуют кинематические соотношения

с учетом которых получаем соотношение между давлением в гидроцилиндре р и силой Q:

(ньютонов).

Задача 2. Ползун весом G с помощью раздвижного шарнирного механизма может передвигаться по гладкой вертикальной направляющей. Найти зависимость между силой F и весом G при равномерном подъеме ползуна, если КПД раздвижного механизма  = 0,99ⁿ, где n — количество работающих шарниров (рис. 2, а)

Рис. 2

РЕШЕНИЕ. Применим к механизму принцип возможных перемещений, учитывая виртуальную работу реакции неидеальных связей через КПД механизма:

(1)

Путем варьирования координат точек приложения сил G и F найдем х и y. (рис. 2, б).

(2)

Подставим (2) в (1), получим

где “12” – число работающих шарниров.

Задача 3. Для заданного угла  определить соотношение между вращающим моментом , приложенным к кривошипу ОА кривошипно-шатунного механизма (рис.3) и силой , приложенной к ползуну В и удерживающей механизм в равновесии. Заданы моменты сил сопротивления вращению в шарнирах О, А, В соответственно; размеры ОА = r, АВ = l; коэффициент трения скольжения ползуна в направляющих f. Весом всех звеньев пренебречь.

Рис. 3

РЕШЕНИЕ. Согласно условию задачи, кривошипно-шатунный механизм является механической системой с неидеальными связями, находящейся в равновесии. На основании принципа возможных перемещений составим уравнение виртуальных работ всех активных сил и всех реакций неидеальных связей, приложенных к точкам (или телам) механической системы:

(1)

где , , и — возможные перемещения кривошипа, шатуна и ползуна соответственно.

Выпишем необходимые кинематические соотношения между и , используя свойство мгновенного центра скоростей P шатуна, теорему синусов и тригонометрические соотношения

(2)

Для определения силы нормального давления ползуна на направляющие составим уравнение равновесия механизма в форме моментов сил относительно центра О:

откуда

(3)

Подставим (2) и (3) в (I) и после сокращения на получим соотношение между М и Q в положении равновесия механизма:

(4)

Для часто рассматриваемого частного случая r=l выражение (4) удобно разрешается относительно искомой силы Q:

Задача 4. При алмазном шлифовании полупроводниковых пластин на станках планетарного типа предъявляются высокие требования к плоскостности и плоскопараллельности шлифуемых образцов, что обеспечивается их сложным движением между притирами по заранее рассчитанной траектории. Расчет траектории точек шестерен планетарной передачи может быть произведен на основе дифференциальных уравнений движения механизма, составленных для каждой степени свободы.

Пусть, например, механическая система, изображенная на рис. 4, движется в горизонтальной плоскости под действием двух пар сил с моментами и . Требуется составить дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах  и , где  – угол поворота водила ОВ,  – угол поворота шестерни 2 .Считать шестерни сплошными однородными дисками, водило – тонким однородным стержнем. Силами трения пренебречь. Принять

Рис. 4

РЕШЕНИЕ. Дня составления дифференциальных уравнений движения используем общее уравнение динамики Даламбера-Лагранжа. Кроме активных пар сил с моментами и , приложенных соответственно к водилу ОВ и шестерне 2, приложим к телам системы касательные силы инерции и моменты сил инерции , модули которых вычислим по формулам: