Материал: Сборник профессионально-ориентированных задач по теоретической механике с решениями. Артемов М.А., Пачевская Г.Н

По закону сохранения момента количества движения для t=t₀ и t=t_* имеем

Искомая угловая скорость равна половине начальной.

Задача 7. Круглая кулачковая шайба 1 радиусом r вращается вокруг неподвижной оси О и сообщает поступательное движение линейке 2, жестко связанной со стержнем 3 и прижимаемой к шайбе пружиной 4. Составить дифференциальное уравнение движения механизма, предполагая, что пружина не напряжена в момент, когда линейка проходит через ось вращения шайбы, а реакция сжатой пружины пропорциональна ее сжатию. Весом и силами трения пренебречь. Вращающий момент , приложенный к шайбе, считать известным (рис. 7).

Рис. 7

РЕШЕНИЕ. Положение шайбы определим углом , составленным диаметром, проходящим через ось вращения, с отрицательным направлением оси y. Тогда . Скорости линейки и стержня 3 равны проекции на ось у скорости точки А шайбы, в которой в данный момент происходит соприкосновение с линейкой (см. решение задачи № 19 в разделе КИНЕМАТИКА).

Кинетическая энергия механизма (массой пружины пренебрегаем) равна

– момент инерции шайбы относительно оси вращения; m – масса поступательно движущихся частей.

Потенциальная энергия сжатой пружины равна

Обобщенная сила равна

Используем уравнение Лагранжа второго рода

Вычислив необходимые производные, получим из этого уравнения дифференциальные уравнения движения механизма:

Автоколебания устойчивость процесса резания

Задача 8. На гибкий стальной вал (рис. 8) диаметром d, длиной 2l насажен диск диаметром D, толщиной h. Центр тяжести диска О₁ расположен на расстоянии от оси симметрии вала О. Составить дифференциальные уравнения малых свободных колебаний диска при постоянной угловой скорости вращения вала . Массой вала по сравнению с массой диска пренебречь. Определить критическую скорость вращения вала ^*, при которой амплитуда колебаний может быть бесконечно большой.

Рис. 8

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим отклоненное состояние диска (рис. 8, а). В этом положении на диск действует упругая восстанавливающая сила

(1)

где с – жесткость вала при изгибе;

Так как то

(2)

Дифференциальное уравнение движения в векторной форме для случая (а) имеет вид

(3)

где m – масса диска.

Уравнение (3) представим в проекциях на координатные оси x, y:

При установившемся режиме решение уравнений (4) имеет вид

(5)

где – собственная частота колебаний вала.

Неограниченное увеличение амплитуды наступает при

,

где – масса диска; c – заданная жесткость при изгибе.

Замечание.При  < * отклонение центра тяжести диска от оси вращения равно r₁+e, а при  > * смещение центра O₁ происходит в сторону центра вращения O – (r₁+e) (рис. 8, б).

Как следует из (5), при высоких скоростях вращения ( ) происходит самоцентрирование диска (смещение ).

Указанная на рис. 8, а схема может быть представлена в реальных производственных условиях в виде кулачкового вала 1, имеющего кулачок 2 с эксцентриситетом , в процессе шлифования рабочего профиля кулачка (рис. 8, в).

В процессе самоцентрирования кулачка происходит изгиб цилиндрической части 1, что приводит к изменению геометрической формы кулачка в процессе его шлифования кругом 3.

Устанавливая величину прогиба вала 1 в точке О как функцию времени, можно внести коррективы в управляющую программу координатно-шлифовального станка с ЧПУ.

Задача 9. При решении задач с кулоновым трением обычно принимается, что сила трения не зависит от скорости. Однако более точные исследования показывает, что это не всегда отражает физическую сторону явления и может вызвать качественное искажение результатов решения.

На рис. 9, а изображен маятник Фруда, масса m укреплена на конце рычага длиной l. Точка подвеса представляет собой втулку, надетую на вращающийся с постоянной угловой скоростью вал. Между втулкой и валом возникают вязкое трение (момент сил вязкого трения, , (  – угловая скорость движения маятника) и сухое трение с нелинейной характеристикой, изображенной на рис.9,б, причем величина момента сил сухого трения равна .

Рис. 9

Требуется: ограничиваясь при разложении в ряд слагаемыми, содержащими , получить дифференциальное уравнение свободных колебаний маятника; исследовать устойчивость малых свободных колебаний (ограничиваясь только линейным членом разложения момента трения). При решении считать, что номинальная скорость вращения вала соответствует точке перегиба на графике рис. 9, б.

РЕШЕНИЕ – ИССЛЕДОВАНИЕ. Составим дифференциальное уравнение движения маятника относительно некоторого отклоненного от вертикали положения:

(1)

Разложим функцию возмущения в ряд в окрестности номинального значения :

(2)

Ограничиваясь линейной частью уравнения, получаем

.

Отсюда найдем угол отклонения маятника от вертикали при отсутствии колебаний, т.е. при .

. (3)

Обозначим . Тогда

При колебания будут затухающими. При система самовозбуждающаяся, т.е. возможны возрастающие во времени колебания. Действительное поведение системы можно исследовать, если в разложении (2) учесть нелинейные члены (например, до третьего порядка малости). Тогда

Обозначим

Тогда в точке перегиба и

Введем

Получим уравнение Рэлея – дифференциальное уравнение свободных колебаний маятника

где (4)

Задача 10. Исследовать устойчивость малых свободных колебаний маятника Фруда (см. задачу № 9), используя метод Ван-дер-Поля.

Принять, что момент инерции маятника , его масса m = 5 кг, длина l = 0,3 м. Коэффициенты разложения момента сил трения в окрестности точки перегиба (рис.10,б) равны ; ; ; .

РЕШЕНИЕ – ИССЛЕДОВАНИЕ. Запишем уравнение движения маятника при нелинейной характеристике сил трения (уравнение (4) задачи № 9)

(1)

где может рассматриваться как малый параметр.

Решение уравнения (1) ищем в виде

(2)

где А и  – неопределенные, медленно изменяющиеся во времени функции, т.е. производные по времени от этих функций имеют тот же порядок малости, что и параметр .

Найдем скорость :

Поскольку в решении имеются две неопределенные функции (А и ), необходимо, чтобы

(3)

тогда

, (4)

(5)

Подставим (4) и (5) в (1):

(6)

Для определения двух неизвестных и получены два уравнения (3) и (6), из которых

(7)

По методу Ван-дер-Поля, функции (7) заменяют их средними за период значениями, считая  параметром, а не функцией времени т.е.

(8)

Для вычисления интегралов (8) вводится новая независимая переменная

Поскольку имеет тот же порядок малости, что и параметр  , можно считать