Материал: Сборник профессионально-ориентированных задач по теоретической механике с решениями. Артемов М.А., Пачевская Г.Н

При этом допущении получаем после интегрирования

, (9)

. (10)

Уравнение (9) определяет изменение амплитуды колебаний А во времени.

Из общей теории нелинейных колебаний известно, что равенство нулю правой части уравнения (9) свидетельствует о наличии предельных циклов – состояний равновесия на фазовой плоскости .

Найдем корни уравнения . Из (9) следует, что при и . Нулевой корень соответствует состоянию равновесия маятника, а ненулевой – периодическому движению.

Исследуем устойчивость равновесия и устойчивость периодического движения маятника. Допустим, что

, (11)

где – корни уравнения ; А – отклонение маятника от положения равновесия или периодического движения.

Подставим (11) в (9) и найдем производную

(12)

Разложим правую часть последнего уравнения в ряд, сохраняя только линейные члены:

(13)

Решение уравнения (13) имеет вид

, (14)

откуда следует, что движение (или состояние равновесия) маятника устойчиво при (если  > 0) и неустойчиво при .

В рассматриваемом случае (см. задачу № 35)  = 0,015>0 и

,

при , т.е. состояние равновесия неустойчиво.

При

Следовательно, предельный цикл колебаний является устойчивым т.е. маятник, выведенный из положения равновесия, совершает колебания с медленно изменяющейся амплитудой, стремящейся с ростом времени к предельному значению

Явление самовозбуждения системы, рассмотренное в задачах № 9 и № 10, имеет место при обработке деталей резанием.

При точении детали подача резца (или фрезы) теоретически должна происходить равномерно. Однако в результате имеющих место отклонений от геометрической формы элементов ходового винта и направляющих станины возникают колебания, приводящие к неравномерности движения. Эти особенности динамики процесса резания проявляются в связи с зависимостью силы сопротивления движению (силы резания) от скорости резания. Можно привести примеры уменьшения (силы резания) с ростом скорости точения или фрезерования типа . При точении твердосплавным резцом конструкционной стали n = 0,15; при фрезеровании твердосплавной торцовой фрезой ковкого чугуна или конструкционной стали n = 0,2.

Возникающие в процессе резания автоколебания являются предметом рассмотрения при решении задачи об устойчивости процесса резания.

Задача 11. На рис. 10 изображена передача с гибкой связью (схема привода токарного станка). В установившемся режиме работы вращающий момент двигателя уравновешивается моментом сил резания (моментами сил сопротивления можно в первом приближении пренебречь); соответствующие напряжения в ветвях передачи равны ₁₀ и ₂₀.

Рис. 10

Составить дифференциальные уравнения малых угловых колебаний шкивов I и II и определить собственные частоты колебаний, если передача имеет следующие параметры: r₁ = 10 см, r₂ = 20 см; момент инерции массы ведущего шкива I и ротора электродвигателя J₁ = 0,08 кгм², момент инерции массы ведомого шкива П и шпинделя станка J₂ = 0,1 кгм²; l = 0,6 м; площадь поперечного сечения гибкой связи F = 2·10^–4 м²; модуль упругости материала гибкой связи Е = 10⁸ Н/м²; угол упругого проскальзывания гибкой связи на шкиве ₀ = 150°; коэффициент трения гибкой связи и шкива f = 0,3.

Указание. Удлинение ветвей передачи от дополнительных напряжений ₁, и ₂, возникающих при колебаниях шкивов, определяется по формулам [6]:

РЕШЕНИЕ. Удлинение верхней и нижней ветвей передачи при колебаниях шкивов

(1)

С другой стороны,

(2)

В процессе колебаний на каждый из шкивов действует момент сил инерции , по принципу Даламбера, и момент от сил натяжения в ветвях передачи.

Дифференциальные уравнения свободных колебаний шкивов имеют вид

(3)

С учетом (1) и (2) систему уравнений (3) представим в виде

где

Из уравнений (4) определим частоты колебаний:

Задача 12. В задаче 11 исследовать устойчивость малых свободных колебаний шкивов Т и П передачи (рис. 10) относительно установившегося режима ее работы, если при колебаниях возникают два возмущающих момента: момент со стороны электродвигателя и момент сил резания ( и – скорости угловых колебаний шкивов, ₁ и ₂ – коэффициенты обратной связи).

Определить значения коэффициента ₁, при которых колебания системы устойчивы.

РЕШЕНИЕ-ИССЛЕДОВАНИЕ. С учетом полученных в задаче № 11 дифференциальных уравнений свободных колебаний шкивов запишем дифференциальные уравнения возмущенного движения:

Запишем характеристическое уравнение системы (1)

или

Необходимым условием устойчивости движения является условие положительности коэффициентов характеристического уравнения, откуда

(3)

т.е. должно быть меньше величины 3,1.

Достаточным условием устойчивости решения является выполнение критерия Гурвица [6]. Для уравнения третьей степени (2) должно выполняться условие ₂ > 0:

откуда

(4)

Сопоставляя (4) и (3), получаем интервал возможных значений ₁ в случае устойчивого возмущенного движения ₁(t) и ₂(t):

Вопросы для самоконтроля

1. Назовите основные понятия динамики, являются ли они конкретными или абстрактными – поясните.

2. В чем заключаются основные задачи динамики точки и механической системы?

3. На чем основан выбор рационального метода решения задач динамики механической системы?

4. От чего зависит необходимое и достаточное количество исходных уравнений динамики для решения конкретной задачи?

5. В каких случаях при решении задач динамики используется метод расчленения?

6. Приведите обоснование выбора метода решения или основного исходного уравнения в конкретной задаче динамики. Можно ли решить эту задачу другим способом? Каким?

7. Какой можно сделать вывод или какую поставить проблему на оснований ответа, полученного в конкретной задаче?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бать М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах: в 3 т. / М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. М.: Наука, 1973. Т. 3. 146 с.

2. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний / В.Л. Бидерман. М.: Высш. шк., 1970. 300 с.

3. Борисенко А.И. Газовая динамика двигателей / А.И. Борисенко. М.: Оборонгиз, 1962. 793 с.

4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнением / Э. Камке. М.: Наука, 1976. 576 с.

5. Осадчий В.А. Руководство к решению задач по теоретической механике / В.А. Осадчий, A.M. Файм. М.: Высш. шк., 1972. 186 с.

6. Светлицкий В.А. Сборник задач по теории колебаний / В.А. Светлицкий, И.В. Стасенко. М.: Высш. шк., 1973. 456 с.

7. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.: Наука, 2004. 798 с.

8. Файн A.M. Сборник задач по теоретической механике / A.M. Файн. М.: Высш. шк., 1987. 256 с.

9. Ансеров М.А. Приспособления для металлорежущих станков / М.А. Ансеров. Л.: Машиностроение, 1975. 656 с.

10. Сборник профессионально-ориентированных задач по теоретической механике с решениями для студентов специальностей 151001 «Технология машиностроения», 151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы», 150201 «Машины и технология обработки металлов давлением», 220402 «Роботы и робототехнические системы», 150202 «Оборудование и технология сварочного производства» очной и очно-заочной форм обучения. Ч.1: Статика, кинематика / Воронеж. гос. техн. ун-т; сост. Г.Н. Пачевская, М.А. Артемов, В.А. Баскаков. Воронеж, 2009. 40 с.