Материал: Сборник профессионально-ориентированных задач по теоретической механике с решениями. Артемов М.А., Пачевская Г.Н

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Чтобы в соотношениях (3) и (4) выразить и через независимые и применим метод Виллиса

, (7)

где

Из (7) получим

(8)

По методу Виллиса для шестерен 3 и 4 имеем

, (9)

Разделив (9) на (7), получим

Следовательно,

(10)

Составим уравнение виртуальных работ на основе принципа Даламбера-Лагранжа на возможном перемещении механической системы, когда

(11)

где .

С другой стороны, так как шестерня 2 в данном случае неподвижна, то и поэтому .

Для точки К касания шестерен 3 и 4 , с другой стороны, Объединяя оба соотношения, получаем , или

Подставляя эти кинематические характеристики в (11), получаем

откуда

(12)

Составим общее уравнение динамики на возможном перемещении механической системы, при котором

(13)

где откуда

С учетом этих кинематических соотношений из (13) получим

откуда

(14)

Итак, соотношения (12) и (14) являются системой дифференциальных уравнений движения для рассматриваемой механической системы с двумя степенями свободы.

ЗАМЕЧАНИЕ. На рис. 4 не изображены центробежные силы инерции и силы тяжести водила и шестерен, так как на указанных возможных перемещениях механической системы работа этих сил равна нулю.

Направление сил инерции (5), (6) и моментов сил инерции (1) – (4) противоположно направлению соответствующих линейных , и угловых , , , ускорений.

Знак минус в правых частях равенств (7) и (9) соответствует внешнему зацеплению шестерен. Знак плюс перед в левых частях этих же равенств соответствует противоположному направлению вращения  и .

При изображении векторов сил инерции и моментов сил инерции на чертеже условно считалось, что знаки производных такие же, как и у самих функций и в данный момент времени (указанный на чертеже).

Динамика

Задача 5. В фрикционной передаче силовое замыкание между ведущим 1 и ведомым 2 шкивами обеспечивается пружинами 3. Какой момент должен быть приложен к ведущему валу при запуске и каково должно быть минимальное усилие поджатия пружин, если на ведомый вал действует момент сопротивления M₂ = 2,5 I0³ Н м? Массы шкивов m₁ = 25 кг, m₁ = 75 кг, радиус инерции ведущего шкива i = 0,35 d₁. Ведомый шкив считать однородным диском; угловое ускорение ведомого вала ₂ = 250 с^-2, коэффициент трения скольжения между шкивами f =0,3. Значения d₁, d₂, указаны на рис. 5, а.

Рис. 5

РЕШЕНИЕ. Для определения момента М₁ применим теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме для рассматриваемой механической системы (тело 1 – тело 2).

. (1)

Вычислим кинетическую энергию механической системы:

,

где

С учетом последних соотношений и численных данных получим

(2)

Определим сумму работ всех внешних сил и моментов внешних сил, приложенных к механической системе и вызывающих вращения ведущего и ведомого валов:

. (3)

Подставим (2) и (3) в (I), получим:

,

откуда .

Для определения минимального усилия поджатия пружин расчленим систему в точке К и рассмотрим на основе принципа Даламбера уравновешенную систему сил, приложенных только к телу 1: активные силы , , ; – равнодействующая сил поджатия пружин; реакции отброшенного тела 2: ; момент даламберовых сил инерции (рис. 5, б).

Составим уравнение "равновесия" тела 1:

(4)

(5)

Из (4)

Из (5)

Отсюда

Задача 6. Маховик 1 (рис. 6, а) разгоняется до угловой скорости ₀. Затем с помощью пружины 2 вместе с валом переводится во фрикционное сцепление с ободом 4. При этом начинает разгоняться маховик 5. Определить, через какое время t^* оба маховика будут иметь одинаковую угловую скорость  и чему она будет равна. Даны моменты инерции J каждого маховика, коэффициент трения в фрикционной паре, усилие пружины Р.

Рис. 6

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим левую часть механизма из деталей 1, 2, 4. Из уравнения динамики вращательного движения твердого тела1 вокруг .неподвижной оси определим угловое ускорение  , вызванное фрикционным зацеплением, то есть силой трения.

где

Угловая скорость после сцепления 1 и 4 по истечении времени t будет

Рассмотрим сложение вращений вокруг пересекающихся под прямым углом осей шестерен (рис.6,6). Из параллелограмма угловых скоростей видно, что , или

Так как вначале маховик 5 покоился, то к моменту времени t его угловая скорость будет равна

Для искомого момента времени t_* , следовательно,