Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

где k – постоянная Больцмана; Te – электронная температура; N –

плотность электронов; Z – заряд ионов; Le – кулоновский логарифм.

При такой малой длине свободного пробега в воде для большинства исследований электроны можно рассматривать как локально поглощаемые и дающие вклад в дозу облучения. Однако характеристическое рентгеновское излучение под действием первичных фотонов не всегда можно рассматривать как локально поглощаемое. Это показано в табл. 2.2, в которой приводятся значения средней длины свободного пробега, энергии и выхода флуоресценции для характеристического рентгеновского излучения K-оболочки.

Таблица 2.2

Параметры характеристического рентгеновского излучения (K-оболочки)

Заметим, что под выходом флуоресценции понимается вероятность того, что при фотоэлектрическом поглощении первичных γ- квантов будет испущен фотон, а не электрон.

Приведенные в табл. 2.2 элементы служат для иллюстрации образования характеристического рентгеновского излучения как в биотканях (кислород, кальций), так и в материалах некоторых пленочных детекторов (серебро, гадолиний). Из таблицы следует, что

81

различия в характеристическом рентгеновском излучении существенны для элементов с большими атомными числами, которые используются в пленочных детекторах, где это может привести как к уменьшению эффективности, так и к размытию изображения.

Сечение рассеяния, как показано на рис. 2.2, 2.4 (для Са, H2O), имеет более плавную зависимость от энергии γ-квантов, чем сечение фотоэффекта, и изменяется пропорционально атомному номеру элементов. Следовательно, комптон-эффект оказывает для диапазона энергий γ-квантов 17–50 кэВ меньшее влияние на контраст в изображении биотканей с различными средними атомными числами, нежели фотоэффект, за исключением случаев более высоких энергий (свыше 50 кэВ), когда сечение фотоэффекта становятся малым.

2.1.3.Эффект «ужесточения» спектра рентгеновского излучения после прохождения через исследуемый объект

Пучок рентгеновского излучения, который используется для компьютерных томографов, состоит из фотонов различных энергий. Облучая фотонами объект исследования, после взаимодействия их с веществом они в различной степени поглощаются, так как коэффициент линейного ослабления нелинейно зависит от энергии γ-квантов (см. рис. 2.5). И относительные распределения фотонов по энергиям до объекта и после объекта могут значительно отличаться.

Относительное распределение числа фотонов по их энергиям, нормированное на произвольную постоянную величину, называется энергетическим спектром излучения N(Е). Спектр излучения N(Е) может быть получен из (2.5), если интенсивность излучения записать функцией от Е при заданной толщине x = d облучаемого объекта

J0 (E ) посредством деления на J0max (E ) – максимальную интенсивность входного излучения, получим

82

где N0(Е) – энергетический спектр входного излучения; N(Е) – энергетический спектр выходного излучения.

Энергетический спектр выходного излучения можно представить в виде суммы спектров нерассеянного Nн(Е) и рассеянного излучения Nр(Е):

N(E)=Nн(Е)+Np(E) .

Однако последняя формула справедлива, если экспериментально спектр нерассеянного и рассеянного излучения измерены непосредственно на выходе из объекта исследования при условии нормировки спектров к единичной площади отверстия коллиматора.

На рис. 2.6 показаны экспериментальные спектры рентгеновского излучения трубки с вольфрамовым анодом, работающей при анодном напряжении 100 кВ, с алюминиевым фильтром толщиной 2,5 мм [5]. Выходной спектр получен при прохождении излучения через слой мягкой ткани (H2O) толщиной 18,5 см и за ним слой костной ткани (Са) толщиной 1,5 см. Также показан (пунктирной линией) выходной спектр, рассчитанный по (2.8).

Нормированный энергетический спектр

Энергия излучения, кэВ

Рис. 2.6. Спектры рентгеновского излучения для трубки с вольфрамовым анодом для анодного напряжения 100 кВ и с алюминиевым фильтром:

а – входной спектр; б – выходной спектр излучения, прошедшего через слой мягкой и костной ткани

83

Из рис. 2.6 видно, что выходной спектр относительно входного сместился в сторону высоких энергий.

Анализ уравнения переноса излучения. В рентгеновской то-

мографии носителями информации являются фотоны. В зависимости от того, каким образом они распространяются от источника излучения в веществе до детектора: прямолинейно или криволинейно, т. е. рассеяно, необходимо строить стратегию детектирования излучения и, основываясь на этой стратегии, создавать алгоритм восстановления изображения.

Поток фотонов, как первичных, так и вторичных полностью определяется решением уравнения переноса излучения в веществе. Уравнение переноса в современной трактовке [60] является интерпретацией кинетического уравнения Больцмана [62], которое позволяет получить уравнение баланса средней плотности вещества, импульса и энергии. Кинетическое уравнение Больцмана для одно-

частичной функции распределения f (x, p,t ) молекул массой m в фазовом пространстве их координат Х и импульсов р записывается

где Stf – интеграл столкновений, определяющий разность числа

частиц, приходящих в элемент объема вследствие прямых столкновений и убывающих из него вследствие обратных столкновений.

Для одноатомных молекул

где ω – вероятность столкновения, связанная с дифференциальным эффективным сечением рассеяния dσ

ω d p′ d p1′ = (V −V1 )dσ ,

где p, p1 – импульсы молекул до столкновения; V , V1 – соответст-

венно, скорости; p, p1 – их импульсы после столкновения; f, f1 – функции распределения молекул до столкновения; f ′, f1′ – их

функции распределения после столкновения.

Уравнение переноса излучения описывает баланс между числом фотонов данной энергии и заданного направления, входящих в элементарный цилиндр, изображенный на рис 2.7, и выходящий из

84

него. При этом понимается, что источники квантов постоянны во времени, следовательно, постоянен во времени и поток фотонов в среде.

той l с основанием А около точки r и с образующей, параллельной n . Сначала определим дифференциальный поток J (r , n, E)dE dn

как число фотонов с энергией между E и E + dE и с направлением распространения в элементарном конусе dn около n , которое пересекает в единицу времени площадь основания элементарного цилиндра.

Полное число фотонов заданного направления и энергии, поки-

где разность (2.11) подобна интегралу кинетического уравнения (2.10) и второй член (2.11) определяет входной поток в цилиндр, а первый – поток в цилиндре.

Величина (2.12) составляется из трех частей.

Во-первых, в объеме цилиндра происходит ослабление узкого пучка фотонов, которое в соответствии с (2.5) определяется выражением

μ(E) l A J (r , n, E) .

85