Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

Во-вторых, происходит рассеяние, которое сопровождается пе-

реходом фотонов из пучка с направлением n' и энергией E ' в пучок с заданным направлением n и энергией E . Если рассеяние происходит где-то внутри цилиндра, то оно вносит положительный вклад в поток фотонов, выходящих наружу. Величина этого вклада зависит от произведения потока J (r , n, E) на функцию распреде-

ления f (n, E, n′, E′) , вероятность того, что в результате рассеяния

параметры n', E ' изменятся на n и Е; в дальнейшем функция f (n, E, n′, E′) предполагается рассчитанной на единицу пути, еди-

ницу dn и единицу dЕ. Произведение J (r , n, E) f (n, E,n', E ') должно быть проинтегрировано по всем первоначальным направ-

лениям n' и энергиям E ' .

В-третьих, вклад обусловлен источниками фотонов. Пусть J0 (r , n, E) – плотность источников в цилиндре, рассчитанная на

единицу объема, единицу времени, единицу телесного угла и единичный интервал энергий. Тогда поток из цилиндра будет равен

A J0 (r , n, E) . Уравнение переноса получим, если приравняем

(2.12) к сумме этих трех составляющих, каждая из которых пропорциональна объему цилиндра. Сокращая все члены равенства на величину A l , окончательно получим следующее уравнение

n grad J (r ,n, E) = −μ(r, E)J (r , n, E) +

Верхний предел первого интеграла в уравнении (2.13) есть E ' = E , так как неупругие процессы могут только уменьшать энергию фото-

на, и поэтому f (n', E ',n, E) обращается в нуль для E ' > E.

Уравнение (2.13) обладает большой общностью. Конкретный вид функций J0 , f ,μ зависит от рассматриваемых процессов, границ изменения переменных. В большинстве приложений под функцией f (n, E,n', E ') подразумевается дифференциальное сече-

86

ние только комптоновского рассеяния, тогда эта функция эквива-

где δ(x) – функция Дирака, которая характеризует закон измене-

ния длины волны фотона при рассеянии (закон Комптона); dΩ' – элемент телесного угла.

Для применения формулы (2.14) нужно иметь в виду, что

cos θ = n n' , и, кроме того, поменять местами символы λ и λ', обозначающие длину волны после и до рассеяния соответственно. То-

гда f (n, E, n', E ') определится, как

Когерентное рэлеевское рассеяние может быть также включено в функцию f. Другие процессы, такие, как флуоресценция, многократная эмиссия фотонов при рассеянии и даже анигиляционное излучение, характерное при высоких энергиях, тоже можно включить в функцию f.

Для медицинской диагностики и томографии характерным является спектр первичного излучения 17–150 кэВ. И поэтому при решении уравнения (2.13) необходимо учитывать поток первичных нерассеянных фотонов и рассеянных. Функцию потока излучения можно представить в виде ряда Неймана

87

р=1

где Jн – поток первичных нерассеянных фотонов; Jр – поток n- кратно рассеянных фотонов, р= 1, 2, …

Решение уравнения (2.13) в явном виде затруднено, поэтому, естественно, ищут такие физические приближения процесса переноса излучения, для которых решение уравнения было бы достаточно простым. Таким приближением может быть использование моноэнергетического источника рентгеновского излучения J0(E0). Также здесь исключаем из рассмотрения поток рассеянных фотонов. Эти физические схемы наиболее используемы в проектировании томографических систем.

Источники моноэнергетических фотонов с энергией Е0 описываются, как это показано в (2.13), функцией J0 (r, n, E ), зависи-

мость которой от Е определяется δ-функцией Дирака δ(E − E0 ) . Источник, коллимированный в направлении n0 , задается функцией, пропорциональной δ(n − n0 ) . Для точечного источника, расположенного в точке r0 , зависимость J0 от r определяется функцией δ(r − r0 ) . Таким образом, коллимированный точечный моноэнер-

гетический источник, испускающий С0 фотонов в секунду, может быть задан функцией

Учитывая, что для коллимированного моноэнергетического точечного источника влияние рассеяния может быть достаточно мало, а также с учетом (2.17) уравнение переноса (2.13) можно записать в виде

n gradJH (r,n,E0 )+μ(r,E0 ) JH (r,n,E0 ) = J0 (r,n,E0 ) =

=C0 δ(r −r0 ) δ(n −n0 ) δ(E −E0 ), (2.18)

где С0 – интенсивность источника излучения; n – направление коллимации источника; r0 – координаты источника.

88

С помощью уравнения (2.18) и его решения (2.20) можно приближенно в рамках практической точности описывать в биотканях процессы переноса рентгеновского излучения, которые происходят в рентгеновских компьютерных томографах 1-го и 2-го поколений, где имеется один точечный коллимированный источник на один или несколько (до 8 шт.) детекторов, и которые имеют так называемую параллельную схему сканирования.

Приближение к моноэнергетическому излучению источника достигается за счет первичной фильтрации излучения на алюминиевом или медном фильтре и последующей коррекции лучевых сумм с использованием калибровки на водяных фантомах и полиномиального приближения полиэнергетических лучевых сумм к моноэнергетическим. Методы этих коррекций будут рассмотрены в гл. 3.

Однако существуют другие схемы сканирования, которые используют веерную геометрию рентгеновского луча, падающего на большое количество детекторов. И здесь без учета рассеянных фотонов обойтись достаточно сложно, так как влияние рассеянных фотонов в этих схемах сканирования может быть достаточно большим.

Пусть функция потока излучения J представлена в виде (2.16). Тогда уравнение (2.13) для Jp n-кратно рассеянных фотонов будет иметь вид [25]

n gradJp (r,n, E) = −μ(r, E) JP (r,nE)+

Эти уравнения для р = 0, 1,… совпадают с уравнением (2.13). Рассматривая эти уравнения в порядке возрастания р, мы видим, что каждая из них эквивалентна уравнению для узкого пучка фотонов (2.20). В самом деле, так как JP−1 предполагается известным из

решения предыдущего уравнения, то интегральный член уравнения (2.21) представляет распределение источников для n-кратных рассеянных фотонов. Решение уравнения (2.21) имеет вид

90